সমতুল্য বিবৃতি

সামনে এগিয়ে যাবার আগে নিচের এই বিবৃতিগুলো যে সমতুল্য তা তোমার মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ
  • AB (mod C) A \equiv B\ (\text{mod }C)
  • A, space, m, o, d, space, C, equals, B, space, m, o, d, space, C
  • C, space, vertical bar, space, left parenthesis, A, minus, B, right parenthesis (এই | চিহ্নটির অর্থ হল ভাগ অথবা এর উৎপাদক)
  • A, equals, B, plus, K, dot, C (যেখানে K হল পূর্ণসংখ্যা)
এগুলো একই ধারণাগুলো  বিভিন্নভাবে প্রকাশ করতে আমাদের সাহায্য করবে।
উদাহরণস্বরূপ নিচে দেওয়া সমীকরণগুলো সমতুল্য:
  • 1323 (mod 5) 13 \equiv 23\ (\text{mod }5)
  • 13 mod 523 mod 5 13 \text{ mod } 5 \equiv 23 \text{ mod }5
  • 5, space, vertical bar, space, left parenthesis, 13, minus, 23, right parenthesis, left parenthesis, 5, space, vertical bar, space, minus, 10, যেটা হল সত্য যেহেতু
  • 13, equals, 23, plus, K, dot, 5। আমরা এই কাজটি সম্পন্ন করতে পারি : 13, equals, 23, plus, left parenthesis, minus, 2, right parenthesis, times, 5

সর্বসমতা মডুলো হল একটি সমতুল্যর সম্পর্ক

পাই

মনে করার চেষ্টা করে দেখো পূর্বের উদাহরণগুলোতে নিচের এই বৈশিষ্ট্যগুলো ছিল:
  • প্রতিটি ভাগে থাকা প্রতিটি জোড়া একে অপরের সাথে সম্পর্কযুক্ত
  • একটির বেশি ভাগে আমরা কখনই কোন মান খুঁজে পাব না (ভাগগুলো একে অপরের থেকে বিচ্ছিন্ন)
  • আমরা যদি সবগুলো ভাগ একসাথে করি তাহলে এটি একটি পাইয়ের আকার ধারণ করবে যেটার ভিতরে সবগুলো মান থাকবে
এই ভাগগুলোসহ সম্পূর্ণ একটি পাইয়ের বৈশিষ্ট্যের মধ্যে একটি সমতুল্য সম্পর্ক রয়েছে
একটি সমতুল্য সম্পর্ক সংজ্ঞায়িত করে যে কিভাবে আমরা আমাদের পাইটি বিভক্ত (মানগুলো কিভাবে আমরা বিভিন্ন ভাগে বিভক্ত করা হবে) করব (সমতুল্য শ্রেণি)।
সাধারনভাবে, বলতে গেলে সমতুল্য সম্পর্কের অবশ্যই এই বৈশিষ্ট্যগুলো থাকতে হবে:
  • পাই: সবগুলো মানের সমষ্টি
  • পাইয়ের একটি ভাগ: একটি সমতুল শ্রেণি
  • কিভাবে আমরা পাইটি বিভিন্ন ভাগে ভাগ করলাম: সমতুল সম্পর্ক
নির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, আমাদের আগে দেওয়া উদাহরণগুলোতে:
  • পাই: সকল পূর্ণসংখ্যার সংগ্রহ
  • পাইয়ের একটি অংশ যেটা B নামে লেবেল করা থাকবে: সমতুল শ্রেণি যেখানে সবগুলো মান হবে m, o, d, space, C, equals, B
  • কিভাবে আমরা পাইটি বিভিন্ন ভাগে ভাগ করলাম: সর্বসমতা মডুলো C সম্পর্ক ব্যবহার করার মাধ্যমে, (mod C) \equiv (\text{mod } C)
এই কারণেই আমরা বলে থাকি যে সর্বসমতা মডুলো C হল একটি সমতুল্য সম্পর্ক। এটি পূর্ণসংখ্যাগুলোকে C সংখ্যক সমতুল্য শ্রেণিতে বিভক্ত করা হবে

সর্বসমতা মডুলো C যে একটি সমতুল্য সম্পর্ক তা কেন আমরা বিবেচনা কর ?

সর্বসমতা মডুলো C যে একটি সমতুল্য সম্পর্ক আমরা তা জানার পরে, আমাদের এখানে এটাও জানা থাকা লাগবে যে এর কিছু বৈশিষ্ট্য থাকা লাগবে।
সমতুল্য সম্পর্ক হল সেই সম্পর্কগুলো যেগুলোর নিচের এই বৈশিষ্ট্যগুলো থাকা লাগবে:
  • তারা প্রতিবিম্বিত: A হল A এর সাথে সম্পর্কযুক্ত
  • তারা প্রতিসম: যদি A, B এর সাথে সম্পর্কযুক্ত হয়, তাহলে B ও A এর সাথে সম্পর্কযুক্ত হবে
  • তারা সম্পর্কযুক্ত: যদি A, B এর সাথে সম্পর্কযুক্ত হয় এবং B, C এর সাথে সম্পর্কযুক্ত হয় তাহলে A, C এর সাথে সম্পর্কযুক্ত হবে
যেহেতু সর্বসমতা মডুলো হল (mod C) এর জন্য সমতুল্য একটি সম্পর্ক। যার অর্থ হল:
  • AA (mod C) A \equiv A \ (\text{mod } C)
  • যদি AB (mod C) A \equiv B \ (\text{mod }C) তাহলে BA (mod C) B \equiv A \ (\text{mod }C)
  • যদি and then

উদাহরণ

mod5
এখন এই বৈশিষ্ট্যগুলো এবং
  • 33  mod 5 3 \equiv 3\ \text{ mod } 5 (প্রতিবিম্বিত বৈশিষ্ট্য)
  • যদি 38 (mod 5) 3 \equiv 8\ (\text{mod }5) তাহলে 83 (mod 5) 8 \equiv 3\ (\text{mod }5) (প্রতিসম বৈশিষ্ট্য)
  • যদি 38 (mod 5) 3 \equiv 8\ (\text{mod }5) এবং যদি 818 (mod 5) 8 \equiv 18\ (\text{mod }5) then 318  mod 5 3 \equiv 18\ \text{ mod }5 (সম্পর্কযুক্ত বৈশিষ্ট্য)