এসো মডুলার পাটিগণিতের বৈশিষ্ট্য সম্পর্কে জানি:

(A * B) mod C = (A mod C * B mod C) mod C

গুণের উদাহরণ:

ধরি, A=4, B=7, C=6
যাচাই করি: (A * B) mod C = (A mod C * B mod C) mod C
বামপক্ষ= বামদিকের সমীকরণ
ডানপক্ষ= ডানদিকের সমীকরণ
বামপক্ষ = (A * B) mod C
বামপক্ষ = (4 * 7) mod 6
বামপক্ষ = 28 mod 6
বামপক্ষ = 4
ডানপক্ষ = (A mod C * B mod C) mod C
ডানপক্ষ = (4 mod 6 * 7 mod 6) mod 6
ডানপক্ষ = (4 * 1) mod 6
ডানপক্ষ = 4 mod 6
ডানপক্ষ = 4
বামপক্ষ = ডানপক্ষ = 4

Proof for Modular Multiplication

আমরা প্রমাণ করবো যে, (A * B) mod C = (A mod C * B mod C) mod C
দেখাতে হবে যে, বামপক্ষ = ডানপক্ষ
ভাগফল ভাগশেষের তত্ত্ব থেকে আমরা পাই, A এবং B হল:
A = C * Q1 + R1 যেখানে 0 ≤ R1 < C এবং Q1 হল পূর্ণসংখ্যা। A mod C = R1
B = C * Q2 + R2 যেখানে 0 ≤ R2 < C এবং Q2 হল পূর্ণসংখ্যা। B mod C = R2
বামপক্ষ = (A * B) mod C
বামপক্ষ = ((C * Q1 + R1 ) * (C * Q2 + R2) ) mod C
বামপক্ষ = (C * C * Q1 * Q2 + C * Q1 * R2 + C * Q2 * R1 + R1 * R 2 )  mod C
বামপক্ষ = (C * (C * Q1 * Q2 + Q1 * R2 + Q2 * R1)  + R1 * R 2 )  mod C
mod C নিলে আমরা C এর গুণিতকগুলো বাদ দিতে পারি
LHS = (R1 * R2) mod C
Next let's do the RHS
ডানপক্ষ = (A mod C * B mod C) mod C
RHS = (R1 * R2 ) mod C
সুতরাং RHS = LHS
LHS = RHS = (R1 * R2 ) mod C