ফার্মার ছোট তত্ত্ব

## আগামী ও গ্রামীণফোন এর সহযোগিতায় অনূদিত ## বব তার দোকানের জন্য বিভিন্ন রঙের কানের দুল তৈরি করার সময় চমৎকার একটি বিষয় আবিষ্কার করেছে। তার ক্রেতারা বৈচিত্র চায় তাই সে চিন্তা করেছে, প্রত্যেক আকারের জন্য প্রত্যেক ধরনের কানের দুল তৈরি করবে। তিনটি পুঁতি নিয়ে সে সম্ভাব্য সকল ধরন চেষ্টা করল। প্রত্যেকটি কানের দুল একটি সমন্বয়ে নিয়ে তারপর শেষভাগ জুড়ে দিয়ে একটি আকার দেয়া হল। তাহলে, এখানে কতটি সমন্বয়ে সাজানো যাবে? দুটি ভিন্ন রং এবং তিনটি পুঁতি নিয়ে তিনটি ধরন হবে, যার প্রত্যেকটিতে দুটি রঙের পুঁতি থাকবে। তাহলে, ২×২×২ = ৮ অর্থাৎ ৮টি সম্ভাব্য অনন্য দল হবে। তারপর, সে একক রঙের দলগুলোকে সরিয়ে ফেলবে যেহেতু সে নানা রঙের কানের দুল বানাবে। তারপর সে সবগুলোকে একসাথে আঠা দিয়ে লাগিয়ে দিবে। সে ভেবেছিল, সে ৬টি ভিন্ন ধরনের কানের দুল পাবে। কিন্তু কিছু একটা হয় যার কারণে সে খুব বেশি পার্থক্য পায় না। দেখা গেল, দেখা গেল, সে শুধুমাত্র দুটি ধরন পেয়েছে। কারন প্রত্যেকটি কানের দুলই এখন এ দুটি নির্দিষ্ট ধরনের দলভুক্ত। লক্ষ্য করলে দেখা যাবে, ঘুরালেই তাদের মধ্যে মিল পাওয়া যাবে। তাহলে, কতবার ঘুরালে আগের অবস্থানে ফিরে আসবে তা এই দলগুলোর আকারের উপর নির্ভর করবে। অথবা যতবার ঘুরালে একটি পূর্ণ আবর্ত সম্পন্ন হয়। তার মানে দাঁড়ায়, মূল ভিন্ন রঙের সমন্বয়, তিনটি পুঁতির দলে সমানভাবে বিভক্ত। তাহলে, এগুলো কি অন্য আকারের জন্যও একই হবে? সবধরনের একই সংখ্যায় থাকলে তার সুবিধা হবে। তাই সে চারটি রঙের পুঁতি নিয়ে চেষ্টা করল। প্রথমে সে সকল সম্ভাব্য দল তৈরি করল। চারটি পুঁতি নিয়ে সে প্রত্যেক পুঁতি থেকে দুটি রঙ নিতে পারবে তাহলে ২×২×২×২=১৬ তারপর সে দুটি একক রঙের দল আলাদা করে এবং অন্য সবগুলোকে জুড়ে দিল। এখন তারা কি একই আকারের দল তৈরি করবে? অবশ্যই না। কী ঘটল এখানে? লক্ষ্য করি, কিভাবে শুরুর পুঁতির দল বিভিন্ন ধরনে বিভক্ত। যদি একই ধরনের হয় তাহলে একটির শেষে আরেকটি পুঁতি আঠা দিয়ে জুড়ে দিয়ে তৈরি করা যাবে। আর এখানে ১টি ধরন আছে যার দুটি দল আছে এবং এর কারন এটি দুটি পুঁতির পুনরাবৃত্তির কারণে গঠিত। তাহলে, একটি আবর্ত সম্পন্ন করতে দু'বার ঘুরাতে হবে। তাহলে, এই দল শুধুমাত্র দুটি নিয়ে গঠিত। সে এগুলো সমান দু'ধরনে ভাগ করতে পারবে না। ৫টির ক্ষেত্রে কী হবে? তাদের কী সমান ভাগে বিভক্ত করা যাবে? হঠাৎ সে খেয়াল করল এটা নির্নয় করতে তাকে বানাতে হবে না এটা হবে, কেননা ৫টির দলকে ঘুরালে একই রকম হবে না কারন ৫-কে ভাগ করলে সমান দু'ভাগে ভাগ করা যায় না। এটি একটি মৌলিক সংখ্যা। তাই যত সংখ্যক ভিন্ন রঙের পুতির দল হোক একই সমন্বয় দেখতে প্রত্যেকবারই এটিকে পাঁচ বার ঘুরাতে হবে। এক্ষেত্রে প্রত্যেকটি সমন্বয় ৫বার আবর্তিত হবে। তাহলে দেখি। প্রথমে আমরা সকল সম্ভাব্য সমন্বয় তৈরি করব এবং একক রঙের দল সরিয়ে নিব। তারপর আমরা দুটি সমন্বয় কে একই দলভুক্ত করব। প্রত্যেক ধরনের একটি কানের দুল তৈরি হবে। এখানে প্রত্যকটি কানের দুলের একটি পূর্ণ আবর্ত সম্পন্ন করতে ৫বার ঘুরতে হবে। তাহলে আমরা যদি সবগুলো সমন্বয়কে কানের দুলে পরিণত করি তাহলে ৫টির সমান আকারের দলে বিভক্ত হবে। কিন্তু সে আরো এক ধাপ এগিয়ে গেল। যদিও সে দুটি রং নিয়ে করছে কিন্তু যেকোন সংখ্যক রঙের পুতি দিয়ে হবে। যেকোন মৌলিক সংখ্যার ভিন্ন রঙের কানের দুল p হলে এর চক্রের দৈর্ঘ্যও p হবে। যেহেতু মৌলিক সংখ্যাকে সমানভাগে ভাগ করা যায় না। কিন্তু যৌগিক সংখ্যক যেমন ৬টি, পুঁতি ব্যবহৃত হলে আমরা সবসময়ই ছোট আবর্ত-দৈর্ঘ্যের নির্দিষ্ট সমন্বয় পাব। যেহেতু এটিতে একটি আবর্ত হবে তাই কম সংখ্যক সমন্বয় পাওয়া যাবে। এবং আশ্চর্যজনক ভাবে সে ফারমাসের উপপাদ্যে পেয়ে যায়। মৌলিক সংখ্যার a সংখ্যক রং এবং p দৈর্ঘ্য নিয়ে সম্ভাব্য সমন্বয় হয় a×a×a, a সংখ্যক বার অথবা a^p । এবং একক রঙের সমন্বয় সরিয়ে নিলে মূলত a-এর সমন্বয় সরিয়ে নেয়া হয়। যেহেতু এখানে প্রত্যেক রঙের জন্য একটি সমন্বয় আছে ফলে, a^p - a সমন্বয় পাওয়া যায়। এবং যখন সে এই সমন্বয়গুলোকে আঠা দিয়ে যুক্ত করে তখন p-এর সমান দল পাওয়া যাবে, যেহেতু প্রত্যেক কানের দুলের p সংখ্যক আবর্ত আছে। অতএব, (p/a)^p - a । আর এটাই। আমরা একে মড্যুলার এরিথমেটিকে প্রকাশ করতে পারি। যদি, (a^p)/p হয় তাহলে ভাগশেষ পাওয়া যাবে a । তাহলে একে লেখা যায়, a^p ≅ a mod p আর এই হল সংখ্যা তত্ত্বে অন্যতম মৌলিক ফলাফল যা এই পুঁতি দিয়ে খেলতে খেলতে পেয়ে গেলাম। ## আগামী ও গ্রামীণফোন এর সহযোগিতায় অনূদিত ##