মারকভ চেইনের উৎপত্তি

## আগামী ও গ্রামীণফোন এর সহযোগিতায় অনূদিত ## বিশ্বের প্রাকৃতিক পরিবেশ পর্যবেক্ষণের সময়, আমাদের অনেকেই প্রাকৃতির চমৎকার দ্বি-বিভাজন নীতি লক্ষ্য করি। কোন দুটি জিনিসই একেবারে একই রকম নয়, কিন্তু তাদের সকলের এক ধরনের অন্তর্নিহিত গঠন রয়েছে। প্লেটো বিশ্বাস করতেন যে, মহাবিশ্বের আসল গঠন আমাদের থেকে লুকানো আছে। প্রাকৃতিক পরিবেশ পর্যবেক্ষণের মাধ্যমে, আমরা এই সম্পর্কে শুধুমাত্র আনুমানিক জ্ঞান লাভ করতে পারি। এতে লুকানো আছে গোপনীয় গঠন কৌশল। মৌলিক গঠনগুলো শুধুমাত্র গণিত এবং দর্শনের তত্ত্বগত যুক্তি দ্বারা পাওয়া যায়। উদাহরণস্বরূপ, বৃত্ত, এটি এমন যার পরিধি থেকে কেন্দ্র পর্যন্ত সকল দূরত্ব সমান। কিন্তু তবুও আমরা কখনই এমন উপাদান পাই না যা একটি নিখুঁত বৃত্ত বা সম্পূর্ণ সোজা রেখা হয়। যদিও মজার ব্যাপার হল, প্লেটো অনুমান করেছিলেন যে অনেক অনেক বছর পরে, মহাবিশ্ব একটি আদর্শ অবস্থায় পৌঁছবে, তার নিখুঁত গঠনে। মৌলিক গঠন নিয়ে প্লেটোর এই আদর্শ শতাব্দীর পর শতাব্দী জনপ্রিয় ছিল। কিন্তু পরে ১৬শ শতাব্দীতে মানুষ বাস্তব বিশ্বের বিভিন্নতা বোঝার চেষ্টা শুরু করে। এবং গণিত প্রয়োগের দ্বারা অন্তর্নিহিত প্যাটার্ন বের করার চেষ্টা করে। বার্নুলি প্রত্যাশার ধারণাকে পরিশুদ্ধ করেন। তিনি একটি মেথডে মনোযোগ দেন যা নির্ভুলভাবে অনুমান করে কোন ঘটনার সম্ভাব্যতাকে যা স্বাধীনভাবে ওই ঘটনা ঘটার সংখ্যার উপর নির্ভরশীল। তিনি একটি সহজ উদাহরণ ব্যবহার করেন। ধর তোমাকে না জানিয়ে, ৩,০০০ সাদা নুড়ি এবং ২,০০০ কালো নুড়ি একটি পাত্রে লুকিয়ে রাখা আছে, এবং তুমি সাদা বনাম কালোর অনুপাত বের করার জন্য, একটির পর আরেকটি নুড়ি বের করছ, প্রতিস্থাপন করে এবং লক্ষ্য রাখছ যে তুমি কতগুলো সাদা বনাম কালো নুড়ি বের করছ। তিনি প্রমাণ করেছিলেন যে প্রত্যাশিত সাদা বনাম কালো নুড়ির মানের অনুপাত পরীক্ষণের সংখ্যা বৃদ্ধির সাথে প্রকৃত অনুপাতের সাথে মিলে যাবে, যাকে বৃহত্তর সংখ্যার দুর্বল তত্ত্ব বলা হয়। তিনি সমাপ্তি টেনে বলেন, "যদি সকল ঘটনার পর্যবেক্ষণ অব্যাহত রাখা হয় অনন্তকালের জন্য, তাহলে লক্ষ্য করা যাবে যে বিশ্বের সবকিছুই সুনির্দিষ্ট অনুপাত এবং পরিবর্তনের ধ্রুব তত্ত্ব দ্বারা নিয়ন্ত্রিত।" এই ধারণাটি অতি দ্রুত বর্ধিত হয় কারণ এটি লক্ষণীয় ছিল যে এটি শুধু প্রত্যাশিত গড়েই মিলিত হয়না, বরং গড়ের সম্ভাব্যতার ধরনও একটি পরিচিত, অন্তর্নিহিত আকৃতি তথা বন্টন অনুসরণ করে। এটির একটি বড় উদাহরণ হল ফ্রান্সিস গ্যাল্টনের মটরশুঁটির যন্ত্র। প্রতিটি সংঘর্ষকে একটি একক স্বাধীন ঘটনা হিসেবে বিবেচনা করি, যেমন একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করা। ১০ টি সংঘর্ষ বা ঘটনার পর, মটরশুঁটিগুলো একটি পাত্রে পতিত হয় যা বাম বনাম ডানদিকের বিচ্যুতি, অথবা মুদ্রার হেড বনাম টেইল প্রকাশ করে। এই সামগ্রিক বক্রতা, দ্বিপদী বন্টন হিসেবে পরিচিত, যা হল একটি আদর্শ গঠন কারণ এটির উপস্থিতি সর্বত্র লক্ষণীয়। যে কোনো সময় কোন বড় সংখ্যার যে কোন পরীক্ষণ দেখলে এটি বোঝা যায়। আপাতদৃষ্টিতে এই ঘটনাগুলোর ফলাফল কোন ভাবে পূর্বনির্ধারিত, যা আজ, কেন্দ্রীয় সীমা তত্ত্ব হিসেবে পরিচিত। কিন্তু ধারণাটি কিছু মানুষের কাছে বিপজ্জনক ছিল। পাভেল নেক্রাসভ, মূলত তিনি একজন ধর্মতত্ত্ববিদ ছিলেন, পরবর্তীতে তিনি গণিতে অধ্যয়ন করেন এবং তিনি স্বাধীন ইচ্ছার শক্তিশালী ধর্মীয় প্রবর্তক ছিলেন। তিনি এই ধরনের পূর্বনির্ধারিত পরিসংখ্যানগত ফলাফল পছন্দ করতেন না। তিনি একটি বিখ্যাত দাবি করেন যে স্বাধীনতা বৃহত্তর সংখ্যার তত্ত্বের জন্য আবশ্যক, কারণ স্বাধীনতা, এই সকল সাধারণ উদাহরণের ক্ষেত্রে মটরশুটি বা ছক্কা ব্যবহার করে, যেখানে আগের ঘটনার ফলাফল মূলত বর্তমান বা ভবিষ্যতের ঘটনার সম্ভাব্যতাকে পরিবর্তন করে না। তবে, আমরা সকলেই জানি, এই বিশ্বের অধিকাংশ জিনিসই স্পষ্টত পূর্ববর্তী ফলাফলের ওপর নির্ভরশীল, যেমন আগুন ধরার সম্ভাবনা বা সূর্য অথবা আমাদের আয়ু। যখন কোন ঘটনার সম্ভাব্যতা নির্ভর করে, বা শর্তযুক্ত হয়, পূর্ববর্তী ঘটনা উপর, আমরা তাদের নির্ভরশীল ঘটনা বলি, অথবা নির্ভরশীল চলক বলি। এই দাবি একজন রুশ গণিতবিদকে রাগান্বিত করে, আন্দ্রেই মার্কভ, যিনি প্রকাশ্যে নেক্রাসভের প্রতি বিদ্বেষ প্রকাশ করতেন। তিনি একটি চিঠিতে বলেন যে "এই পরিস্থিতি আমাকে প্রবন্ধ লেখার জন্য বাধ্য করছে যে বৃহত্তর সংখ্যার তত্ত্ব নির্ভরশীল চলকেও প্রয়োগ করা যায়," তিনি একটি কৌশল ব্যবহার করেন যা তিনি মনে করতেন নেক্রাসভ স্বপ্নেও ভাবতে পারেনি। মার্কভ বার্নুলির ফলাফলকে বর্ধিত করে এটিকে নির্ভরশীল চলকে প্রয়োগ করেন। ধরি একটি মুদ্রা নিক্ষেপ করা হল যা স্বাধীন নয় কিন্তু পূর্ববর্তী ফলাফলের ওপর নির্ভরশীল, তো এটিতে একটি ঘটনার স্বল্পমেয়াদী স্মৃতি থাকে। এটিকে তাত্ত্বিকভাবে কল্পনা করা যায় যে একটি যন্ত্রে দুটি পাত্র রয়েছে, যাকে আমরা অবস্থা বলি। একটি অবস্থায় আমাদের ৫০-৫০ মিশ্রণ আছে সাদা ও কালো নুড়ির, অন্য অবস্থায় সাদার তুলনায় কালো নুড়ি বেশি রয়েছে। একটি পাত্রকে শূন্য অবস্থা বলতে পারি। এটি পূর্বে কালো নুড়ি থাকা প্রকাশ করে, এবং অন্য অবস্থাকে, আমরা এক বলি, এটি পূর্বে সাদা নুড়ি থাকা প্রকাশ করে। আমরা যন্ত্র চালানোর জন্য, আমরা একটি দৈব অবস্থায় শুরু করি এবং একটি নুড়ি নির্বাচন করি। তারপর আমরা হয় শূন্য বা এক অবস্থায় যাই, সেই ঘটনার উপর ভিত্তি করে। নির্বাচনের ফলাফলের উপর ভিত্তি করে, আমরা কালো হলে শূন্য, অথবা সাদা হলে এক লিখি। এই দুটি অবস্থা বিশিষ্ট যন্ত্র দ্বারা, আমরা চারটি সম্ভাব্য স্থানান্তর পাই। যদি শূন্য হয় এবং নুড়ি কালো থাকে তাহলে, আমরা একই অবস্থায় ফিরে পুনরাবৃত্তি ঘটাই এবং আবার নির্বাচন করি। একটি সাদা নুড়ি নির্বাচন করা হলে আমরা এক এর অবস্থায় চলে যাই, যা আবার নিজের উপর ফিরে আসতে পারে, বা কালো হলে শূন্য অবস্থায় যেতে পারি। সাদা বনাম কালো নির্বাচনের সম্ভাবনা স্পষ্টতই এখানে স্বাধীন নয়, যেহেতু এটি পূর্ববর্তী ফলাফলের উপর নির্ভর করে। কিন্তু মার্কভ প্রমাণ করেন যে যে যতক্ষণ যন্ত্রের মধ্যে সকল অবস্থায় যাওয়া যায়, যখন এই যন্ত্রগুলো ক্রমানুসারে চালানো হয়, তারা সাম্যাবস্থায় পৌঁছে। যে কোন অবস্থা থেকেই শুরু করা হোক না কেন, একবার ক্রম শুরু করলে, তুমি যতবার প্রতিটি অবস্থায় যাবে এটি কিছু নির্দিষ্ট অনুপাত বা সম্ভাব্যতায় মিলে যাবে। এই সহজ উদাহরণটি নেক্রাসভের দাবি ভুল প্রমাণিত করে যে শুধুমাত্র স্বাধীন ঘটনাই আনুমানিক বণ্টনের সাথে মিলিত হতে পারে। কিন্তু অবস্থার দ্বারা দৈব ঘটনা দিয়ে ক্রম মডেলের ধারণা এবং অবস্থার মধ্যে স্থানান্তর মার্কভ চেইন হিসেবে পরিচিত হয়ে ওঠে। মার্কভ চেইনের সর্বপ্রথম এবং সবচেয়ে বিখ্যাত প্রয়োগ প্রকাশ করেন ক্লড শ্যানন। ## আগামী ও গ্রামীণফোন এর সহযোগিতায় অনূদিত ##