যেকোন রূপের দ্বিঘাতে রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ

দ্বিঘাত রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণের সকল পদ্ধতিগুলোকে ব্যবহার করে যেকোন ধরণের দ্বিঘাত রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর।.

এই পাঠের জন্য তোমাকে যা জানতে হবে

এই পাঠে নিচে উল্লিখিত উৎপাদকে বিশ্লেষণের পদ্ধতিসমূহ ব্যবহার করা হবে:

এই পাঠ থেকে আমরা কী শিখবো

এই পাঠে তুমি এসব পদ্ধতি একত্রে ব্যবহার করে কিভাবে যেকোন আকারের দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা যায় তা শিখবে।

Intro: Review of factorization methods

MethodExampleWhen is it applicable?
Factoring out common factors= 6x2+3x=3x(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~6x^2+3x\\\\&=3x(2x+1)\\\\\end{aligned}If each term in the polynomial shares a common factor.
The sum-product pattern= x2+7x+12=(x+3)(x+4)\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+7x+12\\\\&=(x+3)(x+4)\end{aligned}If the polynomial is of the form x2+bx+cx^2+bx+c and there are factors of cc that add up to bb.
The grouping method= 2x2+7x+3=2x2+6x+1x+3=2x(x+3)+1(x+3)=(x+3)(2x+1)\begin{aligned}&\phantom{=}~2x^2+7x+3\\\\&=2x^2+6x+1x+3\\\\&=2x(x+3)+1(x+3)\\\\&=(x+3)(2x+1)\\\\\\\end{aligned}If the polynomial is of the form ax2+bx+cax^2+bx+c and there are factors of acac that add up to bb.
Perfect square trinomials= x2+10x+25=(x+5)2\begin{aligned}&\phantom{=}~x^2+10x+25\\\\&=(x+5)^2\end{aligned}If the first and last terms are perfect squares and the middle term is twice the product of their square roots.
Difference of squares=  x29=(x3)(x+3)\begin{aligned}&\phantom{=}~~x^2-9\\\\&=(x-3)(x+3)\end{aligned}If the expression represents a difference of squares.

Putting it all together

কোন সমস্যা সমাধানের সময় কোন পদ্ধতি ব্যবহার করে সমাধান করতে হবে, তা সাধারণত বলে দেওয়া থাকবে না। তাই সহজে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার জন্য তোমাকে কিছু বৈশষ্ট্য নির্ণয় করতে হবে, যা দেখে তুমি বুঝতে পারবে কোন পদ্ধতি ব্যবহার করতে হবে।
এখানে এরকম কিছু লক্ষণ দেওয়া হল, যেখানে কিছু প্রশ্নের মাধ্যমে তুমি বুঝতে পারবে কোন বহুপদীকে কোন পদ্ধতিতে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়।

Factoring quadratic expressions

কোন রাশিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করার শুরুতে একে আদর্শ রূপে লিখে নেওয়া ভালো।
এরপর, তুমি নিচের প্রশ্নগুলোর সমাধান করতে পারবে:
প্রশ্ন 1: এখানে কি কোন সাধারণ উৎপাদক আছে?
যদি উত্তর না হয়, তবে প্রশ্ন 2 নং কর। যদি হ্যাঁ হয়, তবে গ.সা.গু কমন নাও এবং প্রশ্ন 2 নং কর।
গ.সা.গু কমন নেওয়া উৎপাদকে বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে খুবই গুরুত্বপূর্ণ ধাপ, কারণ এটি সংখ্যাগুলো ছোট করে দেয়। আবার এ থেকে প্যাটার্ন বোঝাও সহজতর হয়!
প্রশ্ন 2: এখানে কি বর্গের পার্থক্য আছে (যেমন x216x^2-16 অথবা 25x2925x^2-9)?
যদি বর্গের পার্থক্য থাকে, তবে সূত্র a2b2=(a+b)(ab)a^2-b^2=(a+b)(a-b) ব্যবহার করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর। যদি না থাকে, তবে প্রশ্ন 3 নং এ যাও।
প্রশ্ন 3: এখানে কি কোন পূর্ণ বর্গ ত্রিপদী আছে (যেমন x210x+25x^2-10x+25 অথবা 4x2+12x+94x^2+12x+9)?
যদি পূর্ণবর্গ ত্রিপদী থাকে, তবে সূত্র a2±2ab+b2=(a±b)2a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2 ব্যবহার করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর। যদি না থাকে, প্রশ্ন 4 নং এ যাও।
প্রশ্ন 4:
a.) এখানে কি x2+bx+cx^2+bx+c আকারের কোন রাশি আছে?
যদি উত্তর হ্যাঁ হয়, প্রশ্ন 5 কর। যদি হ্যাঁ হয়, b) দেখো।
b.) cc এর এমন উৎপাদক আছে কি, যাদের যোগফল bb হয়?
যদি হ্যাঁ হয়, তবে যোগফল- গুণফল পদ্ধতি ব্যবহার করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর। অন্যথায়, এরপরে দ্বিঘাত সমীকরণটির আর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যাবে না।
প্রশ্ন ৫: acac এর কি এমন কোন উৎপাদক আছে, যাদের যোগফল bb?
যদি তুমি এ পর্যন্ত এসে থাক, তবে দ্বিঘাত সমীকরণটি অবশ্যই ax2+bx+cax^2+bx+c আকারে আছে, যেখানে a1a\neq 1। যদি acac এর এমন কোন উৎপাদক থাকে, যাদের যোগফল bb, তাহলে দলভুক্তকরণ পদ্ধতিতে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর। যদি না হয়, তাহলে দ্বিঘাত সমীকরণটি আর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যাবে না।
এই প্রশ্নগুলো অনুসরণ করলে, তুমি নিশ্চিত হতে পারবে যে, তুমি দ্বিঘাত সমীকরণটি সম্পূর্ণরূপে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করেছো!
এ অনুযায়ী, চল আরও কিছু উদাহরণ সমাধান করতে চেষ্টা করি।

Example 1: Factoring 5x2805x^2-80

লক্ষ্য কর, রাশিটি আদর্শ রূপেই দেওয়া আছে। আমরা প্রশ্ন করা শুরু করতে পারি।
প্রশ্ন 1: এখানে কি কোন সাধারণ উৎপাদক আছে?
হ্যাঁ। 5x25x^2 এর গ.সা.গু হল 8080 এবং 55। আমরা একে নিম্নের উপায়ে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারিঃ
5x280=5(x216)5x^2-80=5({x^2-16})
প্রশ্ন 2: এখানে কি বর্গের পার্থক্য আছে?
হ্যাঁ। x216=(x)2(4)2x^2-16=(\blueD {x})^2-(\greenD 4)^2। আমরা নিচে দেখানো উপায়ে বর্গের পার্থক্যের সূত্র ব্যবহার করে বহুপদীটির উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারি।
5x280=5((x)2(4)2)=5(x+4)(x4)\begin{aligned}\phantom{5x^2-80}&=5\left((\blueD {x})^2-(\greenD 4)^2\right)\\ \\ &=5(\blueD x+\greenD 4)(\blueD x-\greenD 4)\end{aligned}
এখানে আর কোন দ্বিঘাত নেই। আমরা বহুপদীটিকে সম্পূর্ণরূপে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করেছি।
অতএব, 5x280=5(x+4)(x4)5x^2-80=5(x+4)(x-4)

Example 2: Factoring 4x2+12x+94x^2+12x+9

দ্বিঘাত সমীকরণটি আবারও আদর্শ রূপে দেওয়া। চল প্রশ্ন করা শুরু করি!
প্রশ্ন 1: এখানে কি কোন সাধারণ উৎপাদক আছে?
না। 4x24x^2, 12x12x এবং 99 রাশির মধ্যে কোন সাধারণ উৎপাদক নেই। পরবর্তী প্রশ্ন।
প্রশ্ন 2: এখানে কি বর্গের পার্থক্য আছে?
না। এখানে একটি xx-যুক্ত রাশি আছে, তাই এটি বর্গের পার্থক্য হতে পারে না। পরবর্তী প্রশ্ন।
প্রশ্ন 3: এখানে কি কোন পূর্ণ বর্গ ত্রিপদী আছে?
হ্যাঁ। প্রথম পদটি হল পূর্ণ বর্গ কারণ 4x2=(2x)24x^2=(\blueD{2x})^2 এবং শেষ পদটি হল 9=(3)29=(\greenD 3)^2। এছাড়াও মধ্যপদটি হল বর্গমূলের গুণফলের দ্বিগুণ যেহেতু 12x=2(2x)(3)12x=2(\blueD{2x})(\greenD{3})
আমরা পূর্ণ বর্গ ত্রিপদীর সূত্র ব্যবহার করে দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করতে পারি।
=4x2+12x+9=(2x)2+2(2x)(3)+(3)2=(2x+3)2\begin{aligned}&\phantom{=}4x^2+12x+9\\\\&=(\blueD {2x})^2+2(\blueD{2x})(\greenD{3})+(\greenD{3})^2\\\\&=(\blueD{2x}+\greenD 3)^2\end{aligned}
অতএব, 4x2+12x+9=(2x+3)24x^2+12x+9=(2x+3)^2

Example 3: Factoring 12x63+3x212x-63+3x^2

দ্বিঘাত সমীকরণটি আদর্শ রূপে নেই। আমরা একে 3x2+12x633x^2+12x-63 আকারে লিখে প্রশ্ন করা শুরু করতে পারি।
প্রশ্ন ১: এখানে কি কোন সাধারণ উৎপাদক আছে?
হ্যাঁ। 3x23x^2, 12x12x এবং 6363 এর গ.সা.গু. হল 33। আমরা একে নিম্নের উপায়ে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারি:
3x2+12x63=3(x2+4x21)3x^2+12x-63=3(x^2+4x-21)
প্রশ্ন 2: এখানে কি বর্গের পার্থক্য আছে?
না। পরবর্তী প্রশ্ন।
প্রশ্ন 3: এখানে কি পূর্ণ বর্গ ত্রিপদী আছে?
না। লক্ষ্য কর, যেহেতু 2121 কোন পূর্ণ বর্গ সংখ্যা নয়, তাই এটি পূর্ণ বর্গ ত্রিপদী হতে পারে না। পরবর্তী প্রশ্ন।
প্রশ্ন 4a: এখানে কি x2+bx+cx^2+bx+c আকারের কোন রাশি আছে?
হ্যাঁ। x2+4x21x^2+4x-21 ত্রিপদীটি এই আকারের।
প্রশ্ন 4b: এখানে কি cc এর এমন উৎপাদক আছে যাদের যোগফল bb?
হ্যাঁ। এখানে 21-21 এর উৎপাদক সমূহের যোগফল 44
যেহেতু 7(3)=217\cdot(-3)=-21 এবং 7+(3)=47+(-3)=4, আমরা নিচের উপায়ে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারি:
3(x2+4x21)=3(x2+4x21)=3(x+7)(x3)\begin{aligned}\phantom{3(x^2+4x-21)}&=3(x^2+4x-21)\\ \\ &=3(x+7)(x-3)\\ \end{aligned}
অতএব, 3x2+12x63=3(x+7)(x3)3x^2+12x-63=3(x+7)(x-3)

Example 4: Factoring 4x2+18x104x^2+18x-10

লক্ষ্য কর, এই দ্বিঘাত সমীকরণটি আদর্শ রূপেই দেওয়া আছে।
প্রশ্ন ১: এখানে কি কোন সাধারণ উৎপাদক আছে?
হ্যাঁ। 4x24x^2, 18x18x এবং 1010 এর গ.সা.গু. হল 22। আমরা একে নিচের উপায়ে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারি:
4x2+18x10=2(2x2+9x5)4x^2+18x-10=2(2x^2+9x-5)
প্রশ্ন 2: এখানে কি বর্গের পার্থক্য আছে?
না। পরবর্তী প্রশ্ন।
প্রশ্ন 3: এখানে কি পূর্ণ বর্গ ত্রিপদী আছে?
না। পরবর্তী প্রশ্ন।
প্রশ্ন 4a: এখানে কি x2+bx+cx^2+bx+c আকারের কোন রাশি আছে?
না। দ্বিঘাত রাশির প্রথম পদের সহগ 22। পরবর্তী প্রশ্ন।
প্রশ্ন ৫: acac এর এমন কোন উৎপাদক আছে যাদের যোগফল bb হয়?
এখানে দ্বিঘাত রাশিটি হল 2x2+9x52x^2+9x-5। সুতরাং, আমাদের 2(5)=102\cdot (-5)=-10 এর এমন উৎপাদক নির্ণয় করতে হবে যাদের যোগফল 99 হয়।
যেহেতু (1)10=10(-1)\cdot 10=-10 এবং (1)+10=9(-1)+10=9। সুতরাং, উত্তর হ্যাঁ।
আমরা মধ্যপদটি 1x+10x-1x+10x আকারে লিখতে পারি এবং দলভুক্ত করে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারিঃ
= 2(2x2+9x5)=2(2x21x+10x5)মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে=2((2x21x)+(10x5))দলভুক্ত করে=2(x(2x1)+5(2x1))গ.সা.গু কমন নিয়ে=2(2x1)(x+5)  কমন নিয়ে2x1\begin{aligned}&\phantom{=}~2(2x^2+9x-5)\\\\ &=2(2x^2-1x+10x-5)&&\small{\gray{\text{মধ্যপদ বিশ্লেষণ করে}}}\\ \\ &=2\left((2x^2-1x)+(10x-5)\right)&&\small{\gray{\text{দলভুক্ত করে}}}\\\\ &=2\left(x(2x-1)+5(2x-1)\right)&&\small{\gray{\text{গ.সা.গু কমন নিয়ে}}}\\\\ &=2(2x-1)(x+5)&&\small{\gray{\text{ $2x-1$ কমন নিয়ে}}} \end{aligned}

কতটুকু বুঝেছ তা যাচাই কর

লোড করা হচ্ছে