উৎপাদকের সাহায্যে দ্বিঘাত সমীকরণগুলো সমাধান করা

কিভাবে (x-1)(x+3)=0 এর মত দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা যায় এবং কিভাবে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে অন্য ধরণের সমীকরণ সমাধান করা যায় তা শিখো।.

এই পাঠের পূর্বে যা যা জানা প্রয়োজন

এই পাঠ থেকে আমরা কী শিখবো

এ পর্যন্ত আমরা একঘাত সমীকরণ সমাধান করা শিখেছি যেখানে ধ্রুব সংখ্যা— সাধারণ সংখ্যা—এবং চলককে প্রথম ঘাতে উত্তীর্ণ করা পদ যেমন x1=xx^1=x ছিল।
তুমি হয়তো কিছু দ্বিঘাত সমীকরণ ও সমাধান করা শিখেছ যেখানে উভয়পক্ষকে বর্গ করার মাধ্যমে চলককে দ্বিতীয় ঘাতে উত্তীর্ণ করা হয়েছে।
এই পাঠে আমরা দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের আরেকটি উপায় শিখবো। এখানে আমরা মূলত শিখবো
  • কিভাবে উৎপাদকে বিশ্লেষিত সমীকরণ যেমন (x1)(x+3)=0(x-1)(x+3)=0 সমাধান করা যায় এবং
  • কিভাবে উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতি ব্যবহার করে অন্যান্য সমীকরণ ((যেমন x23x10=0)x^2-3x-10=0) কে উৎপাদকে বিশ্লেষিত অবস্থায় এনে সমাধান করা যায়।

উৎপাদকে বিশ্লেষিত দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান

মনে কর আমাদের (x1)(x+3)=0(x-1)(x+3)=0 দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করতে বলা হয়েছে।
এটি হল দুইটি রাশির গুণফল যা সমান শূন্য। এখানে লক্ষণীয় যে, xx এর যেকোন মান যা (x1)(x-1) অথবা (x+3)(x+3) কে শূন্যের সমান করবে তা পুরো গু্ণফলকেই শূন্যের সমান করবে।
(x1)(x+3)=0x1=0x+3=0x=1x=3\begin{aligned} (x-1)&(x+3)=0 \\\\ \swarrow\quad&\quad\searrow \\\\ x-1=0\quad&\quad x+3=0 \\\\ x=1\quad&\quad x=-3 \end{aligned}
x=1x=1 অথবা x=3x=-3 কে সমীকরণে প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে আমরা 0=00=0 পাবো, যা সত্য। তাই উভয়ই সমীকরণটির সমাধান।
এখন নিজে নিজে কিছু একই রকম সমীকরণ সমাধান কর।

চিন্তা করে দেখার প্রশ্ন

শূন্যকে গুণের বৈশিষ্ট্য সম্পর্কিত কিছু কথা

কিভাবে আমরা বুঝবো যে আমাদের এই পদ্ধতি ব্যবহার করে পাওয়া এই দুইটি ছাড়া আর কোনো সমাধান নেই?
উত্তরটি একটি খুব সহজ কিন্তু প্রয়োজনীয় বৈশিষ্ট্য মধ্যপদ বিশ্লেষণ এর মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়।
দুটি বস্তুর গুণফল যদি শূন্য হয় তবে তাদের অন্তত একটিকে অবশ্যই শূন্য হতে হবে।
আমাদের সমাধানের মান দুটো ছাড়া xx কে অন্য যেকোন মান দিয়ে প্রতিস্থাপন করলে আমরা দুইটি অশূন্য সংখ্যার গুণফল পাই, যা সমান শূন্য নয়। অর্থাৎ আমাদের সমাধান দুটো ছাড়া আর কোন সমাধান নেই।

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে সমাধান

যদি আমাদের x23x10=0x^2-3x-10=0 সমীকরণটি সমাধান করতে হয়, তবে আমাদের কেবল x23x10x^2-3x-10 রাশিটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে আগের মত সমাধান করতে হবে!
x23x10x^2-3x-10 কে (x+2)(x5)(x+2)(x-5) হিসেবে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়।
সমীকরণটির সম্পূর্ন সমাধান নিম্নরূপঃ
x23x10=0(x+2)(x5)=0উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি\begin{aligned}x^2-3x-10&=0\\\\ (x+2)(x-5)&=0&&\text{উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি}\end{aligned}
x+2=0x5=0x=2x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+2&=0&x-5&=0\\\\ x&=-2&x&=5\end{aligned}
এখন, তুমি নিজে নিজে কিছু সমীকরণ সমাধান কর। মনে রেখো, বিভিন্ন ধরণের সমীকরণের জন্য বিভিন্ন ধরণের উৎপাদকে বিশ্লেষণ পদ্ধতি ব্যবহার করতে হবে।

সমাধান কর x2+5x=0x^2+5x=0

সমাধান কর x211x+28=0x^2-11x+28=0

সমাধান কর 4x2+4x+1=04x^2+4x+1=0

সমাধান কর 3x2+11x4=03x^2+11x-4=0

উৎপাদকে বিশ্লেষণের পূর্বে সমীকরণকে সাজানো

একপক্ষকে অবশ্যই শূন্য হতে হবে

x2+2x=40xx^2+2x=40-x সমীকরণটির সমাধান হবে:
x2+2x=40xx2+2x40+x=040 বিয়োগ করি এবং যোগ করিxx2+3x40=0সমজাতীয় পদগুলোকে যোগ করি(x+8)(x5)=0উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি\begin{aligned}x^2+2x&=40-x\\\\ x^2+2x-40+x&=0&&\text{40 বিয়োগ করি এবং যোগ করি}x\text{।}\\\\ x^2+3x-40&=0&&\text{সমজাতীয় পদগুলোকে যোগ করি}\\\\ (x+8)(x-5)&=0&&\text{উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি}\end{aligned}
x+8=0x5=0x=8x=5\begin{aligned}&\swarrow&\searrow\\\\ x+8&=0&x-5&=0\\\\ x&=-8&x&=5\end{aligned}
উৎপাদকে বিশ্লেষণের পূর্বে, আমরা সমীকরণটির প্রতিটি পদকে একপক্ষে নিয়ে এসে অন্যপক্ষকে শূন্যে পরিণত করেছি। তারপরই কেবল আমরা আমাদের সমাধান পদ্ধতি কাজে লাগাতে পেরেছি।

সাধারণ উৎপাদক সরিয়ে ফেলা

2x212x+18=02x^2-12x+18=0 সমীকরণটির সমাধান হবে:
2x212x+18=0x26x+9=02 দিয়ে ভাগ করি(x3)2=0উৎপাদকে বিশ্লেষণ করিx3=0x=3\begin{aligned}2x^2-12x+18&=0\\\\ x^2-6x+9&=0&&\text{2 দিয়ে ভাগ করি}\\\\ (x-3)^2&=0&&\text{উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি}\\\\ &\downarrow\\\\ x-3&=0\\\\ x&=3\end{aligned}
প্রতিটি পদের একটি সাধারণ উৎপাদক হল 22, তাই আমরা সকল পক্ষকে 22 দিয়ে ভাগ করি— শূন্য শূন্যই থেকে যাবে—ফলে উৎপাদকে বিশ্লেষণ সহজ হবে।
এখন নিজে নিজে কিছু একই রকম সমীকরণ সমাধান কর।
লোড করা হচ্ছে