If you're seeing this message, it means we're having trouble loading external resources on our website.

তোমার যদি কোন ওয়েব ফিল্টার দেওয়া থাকে, তাহলে দয়া করে নিশ্চিত কর যে *.kastatic.org এবং *.kasandbox.org ডোমেইনগুলো উন্মুক্ত।

মূল বিষয়বস্তু

বীজগণিত 1

Course: বীজগণিত 1 > Unit 13

Lesson 3: বর্গ পূর্ণ করা
গণিত
বীজগণিত 1
দ্বিঘাত
বর্গ পূর্ণ করা
© 2023 Khan Academyব্যবহারের শর্তাদিগোপনীয়তার নীতিমালাকুকি নোটিশ

বর্গপূর্ণ করার মাধ্যমে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা

গুগল শ্রেণিকক্ষ
উদাহরণস্বরূপ, x²+6x=-2 কে (x+3)²=7 হিসাবে সাজিয়ে, তারপর বর্গ মূল নিয়ে সমাধান কর।

এই পাঠের পূর্বে যা যা জানা প্রয়োজন

এই পাঠ থেকে আমরা কী শিখবো

এ পর্যন্ত তোমরা হয় বর্গমূল পদ্ধতিতে অথবা উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান করেছ। এই পদ্ধতি দুইটি অপেক্ষাকৃত সহজ এবং কার্যকর, তবে যখন প্রযোজ্য। দুর্ভাগ্যবশত এগুলো সবসময় প্রযোজ্য নয়।
এই পাঠে তোমরা যেকোন ধরনের দ্বিঘাত সমস্যা সমাধানের পদ্ধতি শিখবে।

পূর্ণ বর্গে পরিণত করার মাধ্যমে দ্বিঘাত সমীকরণগুলো সমাধান করা

যেমন, এই সমীকরণটি দেখ- x, squared, plus, 6, x, equals, minus, 2। বর্গমূল পদ্ধতি এবং উৎপাদকে বিশ্লেষণ এক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়।
কিন্তু উপায় আছে! আমরা এর জন্য বর্গ পূর্ণকরণ পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারব। চল একে সমাধান করি এবং আরও ভালোভাবে একে পর্যবেক্ষণ করি।
(1)x2+6x=−2(2)x2+6x+9=79 যোগ করে বর্গ পূর্ণ করে।(3)(x+3)2=7বামপাশের রাশিটি উৎপাদক করে।(4)(x+3)2=±7বর্গমূল নিয়ে।(5)x+3=±7(6)x=±7−33 বিয়োগ করে।\begin{aligned}(1)&&x^2+6x&=-2\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2+6x+9}&\Large\blueD{=7}&&\blueD{\text{9 যোগ করে বর্গ পূর্ণ করে।}}\\\\ (3)&&(x+3)^2&=7&&\text{বামপাশের রাশিটি উৎপাদক করে।}\\\\ (4)&&\sqrt{(x+3)^2}&=\pm \sqrt{7}&&\text{বর্গমূল নিয়ে।}\\\\ (5)&&x+3&=\pm\sqrt{7}\\\\ (6)&&x&=\pm\sqrt{7}-3&&\text{3 বিয়োগ করে।}\end{aligned}
অর্থাৎ, সমাধানগুলো হলো x, equals, square root of, 7, end square root, minus, 3 এবং x, equals, minus, square root of, 7, end square root, minus, 3।

এখানে কী হল?

x, squared, plus, 6, x রাশিটির start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd সারিতে 9 যোগ করার ফলে এটি একটি পূর্ণ বর্গ রাশিতে পরিণত হয়েছে যাকে left parenthesis, x, plus, 3, right parenthesis, squared আকারে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়। তাই আমরা বর্গমূল ব্যবহার করে সমীকরণটি সমাধান করতে পারি।
এটি অবশ্যই কোন দৈবচয়ন ছিল না। 9 সংখ্যাটি এমনভাবে নির্ণয় করা হয়েছে যেন রাশিটি একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হয়।

কীভাবে পূর্ণবর্গ করতে হয়

9 কীভাবে নির্ণয় করা হয়েছে জানতে হলে আমাদের এই প্রশ্নটি করতে হবে: যদি x, squared, plus, 6, x কোন পূর্ণ বর্গের শুরু হয়, তবে এর ধ্রুব পদটি কী হবে?
মনে করি রাশিটি পূর্ণ বর্গ left parenthesis, x, plus, a, right parenthesis, squared আকারে প্রকাশ করা যাবে, তবে ধ্রুব a এর মান অজানা। রাশিটি x, squared, plus, 2, a, x, plus, a, squared আকারে বিস্তৃত করা হয়েছে, যা থেকে দুইটি ব্যাপার জানা যায়:
  1. x এর সহগ, যা দেওয়া আছে 6, 2, a এর সমান হতে হবে। সুতরাং, a, equals, 3।
  1. যে ধ্রুব সংখ্যাটি যোগ করতে হবে তা a, squared সমান, অর্থাৎ 3, squared, equals, 9।
কয়েকটি বর্গ নিজে করতে চেষ্টা কর।
একটি পূর্ণ বর্গ রাশি যা x, squared, plus, 10, x দিয়ে শুরু হয়েছে, তার ধ্রুবক পদটি কী?
  • তোমার উত্তর হবে
  • পূর্ণ সংখ্যা, যেমন 6
  • একটি সরলীকৃত প্রকৃত ভগ্নাংশ, যেমন 3, slash, 5
  • একটি সরলীকৃত অপ্রকৃত ভগ্নাংশ, যেমন 7, slash, 4
  • একটি মিশ্র সংখ্যা, যেমন 1, space, 3, slash, 4
  • একদম পূর্নাঙ্গ দশমিক, যেমন 0, point, 75
  • পাই এর গুণিতক, যেমন 12, space, start text, প, া, ই, end text অথবা 2, slash, 3, space, start text, প, া, ই, end text

একটি পূর্ণ বর্গ রাশি যা x, squared, minus, 2, x দিয়ে শুরু হয়েছে, তার ধ্রুবক পদটি কী?
  • তোমার উত্তর হবে
  • পূর্ণ সংখ্যা, যেমন 6
  • একটি সরলীকৃত প্রকৃত ভগ্নাংশ, যেমন 3, slash, 5
  • একটি সরলীকৃত অপ্রকৃত ভগ্নাংশ, যেমন 7, slash, 4
  • একটি মিশ্র সংখ্যা, যেমন 1, space, 3, slash, 4
  • একদম পূর্নাঙ্গ দশমিক, যেমন 0, point, 75
  • পাই এর গুণিতক, যেমন 12, space, start text, প, া, ই, end text অথবা 2, slash, 3, space, start text, প, া, ই, end text

একটি পূর্ণ বর্গ রাশি যা x, squared, plus, start fraction, 1, divided by, 2, end fraction, x দিয়ে শুরু হয়েছে, তার ধ্রুবক পদটি কী?
  • তোমার উত্তর হবে
  • একটি সরলীকৃত প্রকৃত ভগ্নাংশ, যেমন 3, slash, 5

চ্যালেঞ্জ প্রশ্ন

একটি পূর্ণ বর্গ রাশি যা x, squared, plus, b, dot, x দিয়ে শুরু হয়েছে, তার ধ্রুবক পদটি কী?
একটি উত্তর নির্বাচন কর:

এই চ্যালেঞ্জ প্রশ্নটি দিয়ে বর্গ সম্পূর্ণ করার একটি সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি জানা যায়। এটি তাদের জন্য যারা সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি পছন্দ করে এবং মুখস্ত করতে অভ্যস্ত। এ পদ্ধতি থেকে বোঝা যায় x, squared, plus, b, x কে একটি পূর্ণ বর্গ হিসেবে লেখার জন্য, যেখানে b যেকোন সংখ্যা, আমাদের এর সাথে left parenthesis, start fraction, b, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared যোগ করতে হবে।
যেমন, x, squared, plus, start color #11accd, 6, end color #11accd, x কে পূর্ণ বর্গ হিসেবে লেখার জন্য আমরা এর সাথেleft parenthesis, start fraction, start color #11accd, 6, end color #11accd, divided by, 2, end fraction, right parenthesis, squared, equals, 9 যোগ করেছি।

আরও একবার সমীকরণ সমাধান

ঠিক আছে! এখন যেহেতু তোমরা জেনে গেছ কীভাবে বর্গ সম্পূর্ণ করতে হয়, চল আমরা আবার আমাদের উপায়ে সমীকরণ সমাধান করি।
নতুন উদাহরণটি দেখো, সমীকরণ x, squared, minus, 10, x, equals, minus, 12।
(1)x2−10x=−12(2)x2−10x+25=1325 যোগ করে বর্গ পূর্ণ করে।(3)(x−5)2=13বামপাশের রাশিটি উৎপাদক বিশ্লেষণ করে।(4)(x−5)2=±13বর্গমূল নিয়ে।(5)x−5=±13(6)x=±13+55 যোগ করে।\begin{aligned}(1)&&x^2-10x&=-12\\\\ \blueD{(2)}&&\Large\blueD{x^2-10x+25}&\Large\blueD{=13}&&\blueD{\text{25 যোগ করে বর্গ পূর্ণ করে।}}\\\\ (3)&&(x-5)^2&=13&&\text{বামপাশের রাশিটি উৎপাদক বিশ্লেষণ করে।}\\\\ (4)&&\sqrt{(x-5)^2}&=\pm \sqrt{13}&&\text{বর্গমূল নিয়ে।}\\\\ (5)&&x-5&=\pm\sqrt{13}\\\\ (6)&&x&=\pm\sqrt{13}+5&&\text{5 যোগ করে।}\end{aligned}
বামপক্ষের রাশি x, squared, minus, 10, x কে পূর্ণ বর্গ করার জন্য আমরা লাইন start color #11accd, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #11accd এ এর সাথে 25 যোগ করেছি। সবসময়ের মত আমরা ডান পক্ষেও একই সংখ্যা যোগ করেছি, ফলে ডানপক্ষে minus, 12 থেকে 13 হয়েছে।
সাধারণত, পূর্ণ বর্গ করার জন্য কোন সংখ্যা যোগ করতে হবে তা ডান পক্ষের উপর নির্ভর করে না, কিন্তু আমাদের উভয় পক্ষেই একই সংখ্যা যোগ করতে হয়।
এখন তোমাদের কিছু সমীকরণ সমাধান করার পালা।
x, squared, minus, 8, x, equals, 5 এর সমাধান কর।
একটি উত্তর নির্বাচন কর:

x, squared, plus, 3, x, equals, minus, start fraction, 1, divided by, 4, end fraction এর সমাধান কর।
একটি উত্তর নির্বাচন কর:

পূর্ণবর্গ করার আগে সমীকরণকে সাজানো

নিয়ম 1: চলক রাশি থেকে ধ্রুব রাশিগুলোকে আলাদা করতে হবে

x, squared, plus, 5, x, minus, 6, equals, x, plus, 1 সমীকরণের সমাধান নিম্নের উপায়ে হবে:
(1)x2+5x−6=x+1(2)x2+4x−6=1x বিয়োগ করে(3)x2+4x=7 6 যোগ করে(4)x2+4x+4=114 যোগ করে বর্গ সম্পূর্ণ করণ(5)(x+2)2=11উৎপাদক(6)(x+2)2=±11বর্গমূল করে(7)x+2=±11(8)x=±11−22 বিয়োগ করে\begin{aligned}(1)&&x^2+5x-6&=x+1\\\\ \tealD{(2)}&&\tealD{x^2+4x-6}&\tealD{=1}&&\tealD{x \text{ বিয়োগ করে}}\\\\ \purpleC{(3)}&&\purpleC{x^2+4x}&\purpleC{=7}&&\purpleC{\text{ 6 যোগ করে}}\\\\ (4)&&x^2+4x+4&=11&&\text{4 যোগ করে বর্গ সম্পূর্ণ করণ}\\\\ (5)&&(x+2)^2&=11&&\text{উৎপাদক}\\\\ (6)&&\sqrt{(x+2)^2}&=\pm\sqrt{11}&&\text{বর্গমূল করে}\\\\ (7)&&x+2&=\pm\sqrt{11}\\\\ (8)&&x&=\pm\sqrt{11}-2&&\text{2 বিয়োগ করে}\end{aligned}
সমীকরণের এক পাশে পূর্ণ বর্গ করে কোন লাভ হবে না যদি অন্য পাশে x- যুক্ত রাশি থাকে। এজন্য আমরা লাইন start color #01a995, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #01a995 এ x বিয়োগ করেছি, যেন সব চলকগুলো বাম পাশে থাকে।
আবার, x, squared, plus, 4, x কে পূর্ণ বর্গে পরিণত করতে আমাদের এর সাথে 4 যোগ করতে হবে। কিন্তু এটি করার আগে, সবগুলো ধ্রুব পদকে যেকোন একপাশে রাখা প্রয়োজন। তাই আমরা লাইন start color #aa87ff, left parenthesis, 3, right parenthesis, end color #aa87ff এ 6 যোগ করেছি, যেন একপাশে শুধু x, squared, plus, 4, x থাকে।

নিয়ম 2: x, squared এর সহগ সবসময় 1 হতে হবে।

3, x, squared, minus, 36, x, equals, minus, 42 সমীকরণের সমাধান নিম্নের উপায়ে হবে:
(1)3x2−36x=−42(2)x2−12x=−143 দিয়ে ভাগ(3)x2−12x+36=2236 যোগ করে বর্গ সম্পূর্ণ করণ(4)(x−6)2=22উৎপাদক(5)(x−6)2=±22বর্গ মূল(6)x−6=±22(7)x=±22+66 যোগ করে\begin{aligned}(1)&&3x^2-36x&=-42\\\\ \maroonD{(2)}&&\maroonD{x^2-12x}&\maroonD{=-14}&&\maroonD{\text{3 দিয়ে ভাগ}}\\\\ (3)&&x^2-12x+36&=22&&\text{36 যোগ করে বর্গ সম্পূর্ণ করণ}\\\\ (4)&&(x-6)^2&=22&&\text{উৎপাদক}\\\\ (5)&&\sqrt{(x-6)^2}&=\pm\sqrt{22}&&\text{বর্গ মূল}\\\\ (6)&&x-6&=\pm\sqrt{22}\\\\ (7)&&x&=\pm\sqrt{22}+6&&\text{6 যোগ করে}\end{aligned}
বর্গ পূর্ণ করণ পদ্ধতি কাজ করে কেবল x, squared এর সহগ 1 হলে।
এজন্য লাইন start color #ca337c, left parenthesis, 2, right parenthesis, end color #ca337c এ আমরা x, squared এর সহগ অর্থাৎ 3 দিয়ে ভাগ করেছি।
মাঝে মাঝে x, squared এর সহগ দিয়ে ভাগ করলে অন্যান্য সহগ ভগ্নাংশ হয়ে যেতে পারে। এর মানে এই নয় যে তুমি ভুল করেছ। শুধু তখন তোমাকে ভগ্নাংশ নিয়ে কাজ করতে হবে।
এখন তুমি এরকম একটি সমীকরণ সমাধান কর।
4, x, squared, plus, 20, x, minus, 3, equals, 0 এর সমাধান কর।
একটি উত্তর নির্বাচন কর:

আলোচনায় অংশ নিতে চাও?

প্রবেশ কর
কোন আলাপচারিতা নেই।
ইংরেজি জানো? খান একাডেমির ইংরেজি সাইটে আরো আলোচনা দেখতে এখানে ক্লিক কর।