মূল বিষয়বস্তু

কোর্স: বীজগণিত 1 > অধ্যায় 13

পাঠ 3: বর্গ পূর্ণ করা

বর্গপূর্ণ করার মাধ্যমে দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করা

উদাহরণস্বরূপ, x²+6x=-2 কে (x+3)²=7 হিসাবে সাজিয়ে, তারপর বর্গ মূল নিয়ে সমাধান কর।

এই পাঠের পূর্বে যা যা জানা প্রয়োজন

এই পাঠ থেকে আমরা কী শিখবো

এ পর্যন্ত তোমরা হয় বর্গমূল পদ্ধতিতে অথবা উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে দ্বিঘাত সমীকরণের সমাধান করেছ। এই পদ্ধতি দুইটি অপেক্ষাকৃত সহজ এবং কার্যকর, তবে যখন প্রযোজ্য। দুর্ভাগ্যবশত এগুলো সবসময় প্রযোজ্য নয়।

এই পাঠে তোমরা যেকোন ধরনের দ্বিঘাত সমস্যা সমাধানের পদ্ধতি শিখবে।

পূর্ণ বর্গে পরিণত করার মাধ্যমে দ্বিঘাত সমীকরণগুলো সমাধান করা

যেমন, এই সমীকরণটি দেখ-

x^{2} + 6 x = - 2

। বর্গমূল পদ্ধতি এবং উৎপাদকে বিশ্লেষণ এক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়।

যেহেতু সমীকরণে

x

এর ঘাত এক, তাই উভয় পক্ষে বর্গমূল করা যাবে না।

এছাড়াও, তুমি

x^{2} + 6 x + 2

কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে দুইটি একঘাত রাশির গুণফল আকারে লিখতে পারবে না। নিজে চেষ্টা করে দেখো, হবে না।

কিন্তু উপায় আছে! আমরা এর জন্য বর্গ পূর্ণকরণ পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারব। চল একে সমাধান করি এবং আরও ভালোভাবে একে পর্যবেক্ষণ করি।

\begin{aligned} (1) & x^{2} + 6 x & = - 2 \\ (2) & x^{2} + 6 x + 9 & = 7 & 9 যোগ করে বর্গ পূর্ণ করে। \\ (3) & (x + 3)^{2} & = 7 & বামপাশের রাশিটি উৎপাদক করে। \\ (4) & \sqrt{(x + 3)^{2}} & = \pm \sqrt{7} & বর্গমূল নিয়ে। \\ (5) & x + 3 & = \pm \sqrt{7} \\ (6) & x & = \pm \sqrt{7} - 3 & 3 বিয়োগ করে। \end{aligned}

অর্থাৎ, সমাধানগুলো হলো

x = \sqrt{7} - 3

এবং

x = - \sqrt{7} - 3

।

এখানে কী হল?

x^{2} + 6 x

রাশিটির

(2)

সারিতে

9

যোগ করার ফলে এটি একটি পূর্ণ বর্গ রাশিতে পরিণত হয়েছে যাকে

(x + 3)^{2}

আকারে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়। তাই আমরা বর্গমূল ব্যবহার করে সমীকরণটি সমাধান করতে পারি।

এটি অবশ্যই কোন দৈবচয়ন ছিল না।

9

সংখ্যাটি এমনভাবে নির্ণয় করা হয়েছে যেন রাশিটি একটি পূর্ণ বর্গ সংখ্যা হয়।

কীভাবে পূর্ণবর্গ করতে হয়

9

কীভাবে নির্ণয় করা হয়েছে জানতে হলে আমাদের এই প্রশ্নটি করতে হবে: যদি

x^{2} + 6 x

কোন পূর্ণ বর্গের শুরু হয়, তবে এর ধ্রুব পদটি কী হবে?

মনে করি রাশিটি পূর্ণ বর্গ

(x + a)^{2}

আকারে প্রকাশ করা যাবে, তবে ধ্রুব

a

এর মান অজানা। রাশিটি

x^{2} + 2 a x + a^{2}

আকারে বিস্তৃত করা হয়েছে, যা থেকে দুইটি ব্যাপার জানা যায়:

$x$ ‍ এর সহগ, যা দেওয়া আছে $6$ ‍, $2 a$ ‍ এর সমান হতে হবে। সুতরাং, $a = 3$ ‍।

যে ধ্রুব সংখ্যাটি যোগ করতে হবে তা $a^{2}$ ‍ সমান, অর্থাৎ $3^{2} = 9$ ‍।

কয়েকটি বর্গ নিজে করতে চেষ্টা কর।

একটি পূর্ণ বর্গ রাশি যা $x^{2} + 10 x$ ‍ দিয়ে শুরু হয়েছে, তার ধ্রুবক পদটি কী?

আমরা

x^{2} + 10 x

এর সাথে একটি ধ্রুবক পদ যোগ করতে চাই, যেন এটি

x^{2} + 2 a x + a^{2}

রূপে থাকে। এই আকারে

x

এর সহগ হল

2 a

এবং আমাদের রাশিতে সহগ

10

। অতএব,

2 a = 10

, যার অর্থ হল

a = 5

।

এই আকারে প্রকাশের জন্য আমাদের যে ধ্রুবক পদটি যোগ করতে হবে তা হল

a^{2}

, অর্থাৎ

5^{2} = 25

। এক্ষেত্রে রাশিটি হবে

x^{2} + 10 x + 25

, যাকে

(x + 5)^{2}

আকারে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়।

অতএব, আমাদের ধ্রুবক

25

যোগ করতে হবে।

একটি পূর্ণ বর্গ রাশি যা $x^{2} - 2 x$ ‍ দিয়ে শুরু হয়েছে, তার ধ্রুবক পদটি কী?

আমরা

x^{2} - 2 x

এর সাথে একটি ধ্রুবক পদ যোগ করতে চাই, যেন এটি

x^{2} + 2 a x + a^{2}

রূপে থাকে। এই আকারে

x

এর সহগ হল

2 a

এবং আমাদের রাশিতে সহগ

- 2

। অতএব,

2 a = - 2

, যার অর্থ হল

a = - 1

।

এই আকারে প্রকাশের জন্য আমাদের যে ধ্রুবক পদটি যোগ করতে হবে তা হল

a^{2}

, অর্থাৎ

(- 1)^{2} = 1

। এক্ষেত্রে রাশিটি হবে

x^{2} - 2 x + 1

, যাকে

(x - 1)^{2}

আকারে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়।

অতএব, আমাদের ধ্রুবক

1

যোগ করতে হবে।

একটি পূর্ণ বর্গ রাশি যা $x^{2} + \frac{1}{2} x$ ‍ দিয়ে শুরু হয়েছে, তার ধ্রুবক পদটি কী?

আমরা

x^{2} + \frac{1}{2} x

এর সাথে একটি ধ্রুবক পদ যোগ করতে চাই, যেন এটি

x^{2} + 2 a x + a^{2}

রূপে থাকে। এই আকারে

x

এর সহগ হল

2 a

এবং আমাদের রাশিতে সহগ

\frac{1}{2}

। অতএব,

2 a = \frac{1}{2}

, যার অর্থ হল

a = \frac{1}{4}

।

এই আকারে প্রকাশের জন্য আমাদের যে ধ্রুবক পদটি যোগ করতে হবে তা হল

a^{2}

, অর্থাৎ

{(\frac{1}{4})}^{2} = \frac{1}{16}

। এক্ষেত্রে রাশিটি হবে

x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{1}{16}

, যাকে

{(x + \frac{1}{4})}^{2}

আকারে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়।

অতএব, আমাদের ধ্রুবক

\frac{1}{16}

যোগ করতে হবে।

চ্যালেঞ্জ প্রশ্ন

একটি পূর্ণ বর্গ রাশি যা $x^{2} + b \cdot x$ ‍ দিয়ে শুরু হয়েছে, তার ধ্রুবক পদটি কী?

আমরা

x^{2} + b \cdot x

এর সাথে একটি ধ্রুবক পদ যোগ করতে চাই, যেন এটি

x^{2} + 2 a x + a^{2}

রূপে থাকে। এই আকারে

x

এর সহগ হল

2 a

এবং আমাদের রাশিতে সহগ

b

। অতএব,

2 a = b

, যার অর্থ হল

a = \frac{b}{2}

।

এই আকারে প্রকাশের জন্য আমাদের যে ধ্রুবক পদটি যোগ করতে হবে তা হল

a^{2}

, অর্থাৎ

{(\frac{b}{2})}^{2}

। এক্ষেত্রে রাশিটি হবে

x^{2} + 2 \cdot \frac{b}{2} \cdot x + {(\frac{b}{2})}^{2}

, যাকে

{(x + \frac{b}{2})}^{2}

আকারে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়।

অতএব, আমাদের ধ্রুবক

{(\frac{b}{2})}^{2}

যোগ করতে হবে।

এই চ্যালেঞ্জ প্রশ্নটি দিয়ে বর্গ সম্পূর্ণ করার একটি সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি জানা যায়। এটি তাদের জন্য যারা সংক্ষিপ্ত পদ্ধতি পছন্দ করে এবং মুখস্ত করতে অভ্যস্ত। এ পদ্ধতি থেকে বোঝা যায়

x^{2} + b x

কে একটি পূর্ণ বর্গ হিসেবে লেখার জন্য, যেখানে

b

যেকোন সংখ্যা, আমাদের এর সাথে

{(\frac{b}{2})}^{2}

যোগ করতে হবে।

যেমন,

x^{2} + 6 x

কে পূর্ণ বর্গ হিসেবে লেখার জন্য আমরা এর সাথে

{(\frac{6}{2})}^{2} = 9

যোগ করেছি।

আরও একবার সমীকরণ সমাধান

ঠিক আছে! এখন যেহেতু তোমরা জেনে গেছ কীভাবে বর্গ সম্পূর্ণ করতে হয়, চল আমরা আবার আমাদের উপায়ে সমীকরণ সমাধান করি।

নতুন উদাহরণটি দেখো, সমীকরণ

x^{2} - 10 x = - 12

।

\begin{aligned} (1) & x^{2} - 10 x & = - 12 \\ (2) & x^{2} - 10 x + 25 & = 13 & 25 যোগ করে বর্গ পূর্ণ করে। \\ (3) & (x - 5)^{2} & = 13 & বামপাশের রাশিটি উৎপাদক বিশ্লেষণ করে। \\ (4) & \sqrt{(x - 5)^{2}} & = \pm \sqrt{13} & বর্গমূল নিয়ে। \\ (5) & x - 5 & = \pm \sqrt{13} \\ (6) & x & = \pm \sqrt{13} + 5 & 5 যোগ করে। \end{aligned}

বামপক্ষের রাশি

x^{2} - 10 x

কে পূর্ণ বর্গ করার জন্য আমরা লাইন

(2)

এ এর সাথে

25

যোগ করেছি। সবসময়ের মত আমরা ডান পক্ষেও একই সংখ্যা যোগ করেছি, ফলে ডানপক্ষে

- 12

থেকে

13

হয়েছে।

সাধারণত, পূর্ণ বর্গ করার জন্য কোন সংখ্যা যোগ করতে হবে তা ডান পক্ষের উপর নির্ভর করে না, কিন্তু আমাদের উভয় পক্ষেই একই সংখ্যা যোগ করতে হয়।

এখন তোমাদের কিছু সমীকরণ সমাধান করার পালা।

$x^{2} - 8 x = 5$ ‍ এর সমাধান কর।

$\begin{aligned} x^{2} - 8 x & = 5 \\ x^{2} - 8 x + 16 & = 21 & 16 যোগ করা, বর্গ সম্পূর্ণ করে) \\ (x - 4)^{2} & = 21 & উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে \\ \sqrt{(x - 4)^{2}} & = \pm \sqrt{21} & বর্গমূল করে \\ x - 4 & = \pm \sqrt{21} \\ x & = \pm \sqrt{21} + 4 & 4 যোগ করে। \end{aligned}$ ‍

অর্থাৎ, সমাধানগুলো হলো

x = \sqrt{21} + 4

এবং

- \sqrt{21} + 4

।

$x^{2} + 3 x = - \frac{1}{4}$ ‍ এর সমাধান কর।

$\begin{aligned} x^{2} + 3 x & = - \frac{1}{4} \\ x^{2} + 3 x + \frac{9}{4} & = 2 & যোগ করে \frac{9}{4}, বর্গ সম্পূর্ণ করে \\ {(x + \frac{3}{2})}^{2} & = 2 & উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে \\ \sqrt{{(x + \frac{3}{2})}^{2}} & = \pm \sqrt{2} & বর্গমূল করে \\ x + \frac{3}{2} & = \pm \sqrt{2} \\ x & = \pm \sqrt{2} - \frac{3}{2} & বিয়োগ করে \frac{3}{2} । \end{aligned}$ ‍

অর্থাৎ, সমাধানগুলো হলো

x = \sqrt{2} - \frac{3}{2}

এবং

- \sqrt{2} - \frac{3}{2}

।

পূর্ণবর্গ করার আগে সমীকরণকে সাজানো

নিয়ম 1: চলক রাশি থেকে ধ্রুব রাশিগুলোকে আলাদা করতে হবে

x^{2} + 5 x - 6 = x + 1

সমীকরণের সমাধান নিম্নের উপায়ে হবে:

\begin{aligned} (1) & x^{2} + 5 x - 6 & = x + 1 \\ (2) & x^{2} + 4 x - 6 & = 1 & x বিয়োগ করে \\ (3) & x^{2} + 4 x & = 7 & 6 যোগ করে \\ (4) & x^{2} + 4 x + 4 & = 11 & 4 যোগ করে বর্গ সম্পূর্ণ করণ \\ (5) & (x + 2)^{2} & = 11 & উৎপাদক \\ (6) & \sqrt{(x + 2)^{2}} & = \pm \sqrt{11} & বর্গমূল করে \\ (7) & x + 2 & = \pm \sqrt{11} \\ (8) & x & = \pm \sqrt{11} - 2 & 2 বিয়োগ করে \end{aligned}

সমীকরণের এক পাশে পূর্ণ বর্গ করে কোন লাভ হবে না যদি অন্য পাশে

x

- যুক্ত রাশি থাকে। এজন্য আমরা লাইন

(2)

এ

x

বিয়োগ করেছি, যেন সব চলকগুলো বাম পাশে থাকে।

আবার,

x^{2} + 4 x

কে পূর্ণ বর্গে পরিণত করতে আমাদের এর সাথে

4

যোগ করতে হবে। কিন্তু এটি করার আগে, সবগুলো ধ্রুব পদকে যেকোন একপাশে রাখা প্রয়োজন। তাই আমরা লাইন

(3)

এ

6

যোগ করেছি, যেন একপাশে শুধু

x^{2} + 4 x

থাকে।

নিয়ম 2: $x^{2}$ ‍ এর সহগ সবসময় $1$ ‍ হতে হবে।

3 x^{2} - 36 x = - 42

সমীকরণের সমাধান নিম্নের উপায়ে হবে:

\begin{aligned} (1) & 3 x^{2} - 36 x & = - 42 \\ (2) & x^{2} - 12 x & = - 14 & 3 দিয়ে ভাগ \\ (3) & x^{2} - 12 x + 36 & = 22 & 36 যোগ করে বর্গ সম্পূর্ণ করণ \\ (4) & (x - 6)^{2} & = 22 & উৎপাদক \\ (5) & \sqrt{(x - 6)^{2}} & = \pm \sqrt{22} & বর্গ মূল \\ (6) & x - 6 & = \pm \sqrt{22} \\ (7) & x & = \pm \sqrt{22} + 6 & 6 যোগ করে \end{aligned}

বর্গ পূর্ণ করণ পদ্ধতি কাজ করে কেবল

x^{2}

এর সহগ

1

হলে।

বর্গ পূর্ণকরণ পদ্ধতিতে, যে রাশিটি দেওয়া থাকে, তাকে আমরা সাধারণ পূর্ণ বর্গ রাশি

(x + a)^{2}

এর সাথে তুলনা করি, যা কে বিস্তৃত করলে হয়

x^{2} + 2 a x + a^{2}

। এই রাশিতে

x^{2}

এর সহগ হল

1

।

যদি কোন পূর্ণ বর্গ রাশি

3 x^{2} - 36 x

দিয়ে শুরু হয়, এটি সাধারণ পূর্ণ বর্গ রাশি

(x + a)^{2}

এর সমান হবে না। এর পরিবর্তে এটি সাধারণ পূর্ণ বর্গ

(\sqrt{3} \cdot x + a)^{2}

এর সমান হবে, যাকে বিস্তৃত করলে

3 x^{2} + 2 a \sqrt{3} \cdot x + a^{2}

হয়। শুভ কামনা!

এজন্য লাইন

(2)

এ আমরা

x^{2}

এর সহগ অর্থাৎ

3

দিয়ে ভাগ করেছি।

মাঝে মাঝে

x^{2}

এর সহগ দিয়ে ভাগ করলে অন্যান্য সহগ ভগ্নাংশ হয়ে যেতে পারে। এর মানে এই নয় যে তুমি ভুল করেছ। শুধু তখন তোমাকে ভগ্নাংশ নিয়ে কাজ করতে হবে।

\begin{aligned} 4 x^{2} - 4 x & = 11 \\ x^{2} - x & = \frac{11}{4} & 4 দিয়ে ভাগ করি। \\ x^{2} - x + \frac{1}{4} & = \frac{11}{4} + \frac{1}{4} & যোগ করি \frac{1}{4} বর্গটি সম্পূর্ণ করি। \\ {(x - \frac{1}{2})}^{2} & = 3 & উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি \\ \sqrt{{(x - \frac{1}{2})}^{2}} & = \pm \sqrt{3} & বর্গমূল করি \\ x - \frac{1}{2} & = \pm \sqrt{3} \\ x & = \pm \sqrt{3} + \frac{1}{2} & যোগ করি \frac{1}{2} . \end{aligned}

অর্থাৎ, সমাধানগুলো হলো

x = \sqrt{3} + \frac{1}{2}

এবং

- \sqrt{3} + \frac{1}{2}

।

এখন তুমি এরকম একটি সমীকরণ সমাধান কর।

$4 x^{2} + 20 x - 3 = 0$ ‍ এর সমাধান কর।

$\begin{aligned} 4 x^{2} + 20 x - 3 & = 0 \\ 4 x^{2} + 20 x & = 3 & 3 যোগ করে \\ x^{2} + 5 x & = \frac{3}{4} & 4 দিয়ে ভাগ করে \\ x^{2} + 5 x + \frac{25}{4} & = 7 & যোগ করে \frac{25}{4}, বর্গটি সম্পূর্ণ করে \\ {(x + \frac{5}{2})}^{2} & = 7 & উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে \\ \sqrt{{(x + \frac{5}{2})}^{2}} & = \pm \sqrt{7} & বর্গমূল করে \\ x + \frac{5}{2} & = \pm \sqrt{7} \\ x & = \pm \sqrt{7} - \frac{5}{2} & বিয়োগ করে \frac{5}{2} । \end{aligned}$ ‍

অর্থাৎ, সমাধানগুলো হলো

x = \sqrt{7} - \frac{5}{2}

এবং

- \sqrt{7} - \frac{5}{2}

।

আলোচনায় অংশ নিতে চাও?

প্রবেশ কর

সাজানো আছেঃ

কোন আলাপচারিতা নেই।

ইংরেজি জানো? খান একাডেমির ইংরেজি সাইটে আরো আলোচনা দেখতে এখানে ক্লিক কর।

বীজগণিত 1

কোর্স: বীজগণিত 1 > অধ্যায় 13

এই পাঠের পূর্বে যা যা জানা প্রয়োজন

এই পাঠ থেকে আমরা কী শিখবো

পূর্ণ বর্গে পরিণত করার মাধ্যমে দ্বিঘাত সমীকরণগুলো সমাধান করা

এখানে কী হল?

কীভাবে পূর্ণবর্গ করতে হয়

চ্যালেঞ্জ প্রশ্ন

আরও একবার সমীকরণ সমাধান

পূর্ণবর্গ করার আগে সমীকরণকে সাজানো

নিয়ম 1: চলক রাশি থেকে ধ্রুব রাশিগুলোকে আলাদা করতে হবে

নিয়ম 2: x2‍ এর সহগ সবসময় 1‍ হতে হবে।

আলোচনায় অংশ নিতে চাও?

নিয়ম 2: $x^{2}$ ‍ এর সহগ সবসময় $1$ ‍ হতে হবে।