তাত্ত্বিক সম্ভাবনা পরিচিতি

বা যাবার প্রবণতা ততই বেশি সম্পাদন করি বা চালাই, সম্ভাবনা কত? বা সম্ভাবনা আছে, তো, এই এক্সপেরিমেন্ট এ প্রবাবিলিটি কতো? আমি যা এই ভিডিওতে করতে চাই তা হলো তোমাদেরকে অন্তত একটি মূল ধারনা দিতে প্রবাবিলিটি সম্পর্কে। প্রবাবিলিটি, একটি শব্দ যা তোমরা অনেকেই হয়তোবা অনেক শুনে থাকবে। আর তোমরা হয়ত এটি সম্পর্কে অল্প করে হলেও যানো। আশা করি এটি তোমাদেরকে আরও একটু গভীরভাবে বুঝতে সহায়তা করবে। তো ধরে নেই যে আমার কাছে এখানে একটি ফেয়ার কয়েন আছে। ফেয়ার কয়েন বলতে আমি বোঝাচ্ছি যে, এটির যেকোনো একটি পাশ বা সাইড পড়ার সম্ভাবনা সমান। তো, তোমরা এটাকে এভাবে দেখতে পার যে এটার উভয় সাইড সমান, উভয় পাশেরই ওজন সমান, যদি আমি এটিকে ফ্লিপ করি, এটির জেকোনো এক পাশে ল্যান্ড বা পড়ার সম্ভাবনা অন্য পাশের চেয়ে বেশি নয়; বরং তারা উভয়ই সমান। তা যদি হয়, এখন ধরে নাও যে এটি তোমার কয়েনের এক পাশ আর ধরো যে এটি হচ্ছে তোমার কয়েনের হেড্‌স, জর্জ ওয়াশিংটন কে আঁকার চেষ্টা করছি, মনে করি যে এটি একটি কোয়ার্টার বা পঁচিশ সেন্ট(ইউএস কারেন্সি) আর তাহলে অন্যপাশটি, অবশ্যই টেইলস তো এখন, এটা তাহলে হেড্‌স আর এই পাশটি টেইলস আর এখন আমি যদি তোমাকে প্রশ্ন করি, "প্রবাবিলিটি কতো?" আমি একটি কয়েন ফ্লিপ করবো, আর আমি জানতে চাই হেড্‌স পড়ার প্রবাবিলিটি বা সম্ভাবনা কতো? আর আমি এটাকে এভাবে লিখতে পারি, হেড্‌স পড়ার সম্ভাবনা হচ্ছে, আর শুধুমাত্র এই প্রশ্নের উপর ভিত্তি করে তুমি হয়ত বুঝতে পারছো যে কিসের প্রবাবিলিটি জানতে চাওয়া হচ্ছে। এমন একটি ইভেন্ট বা ঘটনা সম্পর্কে জানতে চাওয়া হচ্ছে যা মূলতঃ Random বা এলোমেলো বিচ্ছিন্ন আমরা জানিনা এটা হেড্‌স পড়বে না টেইল্‌স, কিন্তু আমরা হেড্‌স বা টেইল্‌স পড়ার সম্ভাবনা সম্পর্কে বলতে পারি এবং আমরা এ সম্পর্কে একটু পরে জানবো। তো, এটাকে এভাবে চিন্তা করা যায় আর প্রবাবিলিটিকে পাঠ্যপুস্তকে সাধারণত এভাবে প্রকাশ করা হয় যে আচ্ছা দেখ, কত রকমের equally likely সম্ভাবনা আছে এখানে? তো, কত রকমের equally likely সম্ভাবনা আছে এখানে... ...তো, ইকুয়ালি লাইক্লি সম্ভাবনার সংখ্যা আর ইকুয়ালি লাইক্লি সম্ভাবনার সংখ্যার মধ্যে আমার মাথা ব্যথার কারন হচ্ছে, ঐ নাম্বারটি যা আমার এই ইভেন্টকে নির্দেশ করে তাহলে, আমার কন্সট্রেইন্টকে সিদ্ধ করে এমন সংখ্যক সম্ভাবনাই হচ্ছে তা যা আমার শর্তকে পূরণ করে। এখন, হেড্‌স পড়ার সম্ভাবনা নির্ণয়ের ক্ষেত্রে, equally likely সম্ভাবনার বা ঘটনার সংখ্যা কত? Well, এখানে দুইটি সম্ভাবনা আছে আমরা ধরে নিচ্ছি যে, কয়েনটি মাটিতে আসার পরে এর কর্ণারের খাড়াভাবে স্থিত হতে পারে না, বরং আমরা ধরে নেই যে এটি এর তল বরাবর আপতিত হয়। তো, এর দুইটি পসিবল্‌ ঘটনা রয়েছে, সুইটি ইকুয়ালি লাইক্লি সম্ভাবনা। তুমি হয় হেড্‌স পেতে পারো, নয়তো টেইল্‌স। এখন, আমার শর্ত পূরণ করে এমন ঘটনাগুলির সংখ্যা কতো? Well, শুধু মাত্র একটি হেড্‌স তাই, এটা হবে Half বা ১/২ বা এক-দ্বিতীয়াংশ তাহলে, একভাবে চিন্তা করলে আমরা লিখতে পারি যে হেড্‌স পড়ার সম্ভাবনা হলো এক-দ্বিতীয়াংশ বা ১/২ আর আমি যদি এটাকে পারসেন্টেজের বা শতাংশের আকারে লিখতে চাইতাম, তাহলে আমরা জানি যে, ১/২ আর ৫০ শতাংশ একই কথা। এখন, আরেকভাবে চিন্তা করা যায় বা ধারনা করা যেতে পারে যা তোমাকে একই উত্তর দিবে, আর তা হলো, ঠিক আছে, আমি যদি কয়েন ফ্লিপ এর একটি পরীক্ষা চালাই, তাহলে এই ফ্লিপ, তুমি এটাকে একটি পরিক্ষা হিসেবে দেখতে পারো আমি জানি যে, তোমরা এ ধরনের পরীক্ষা করে অভ্যস্ত নও, বরং তোমরা পরীক্ষা বলতে কেমিস্ত্রি, বা ফিজিক্স, বা অন্য সব কিছুকে বুঝে থাকবে, কিন্তু আসলে, একটি এক্সপেরিমেন্ট হচ্ছে যতবার তুমি এই বিচ্ছিন্ন ঘটনাগুলিকে ঘটাও তা। তাহলে, প্রবাবিলিটিকে এভাবে চিন্তা করা যেতে পারে যে, আমাকে যদি বলা হয় এই পরীক্ষা চালাতে একটি পরীক্ষা অনেক, অনেক, অনেকবার, যদি আমি এটা এক হাজার বার কিংবা এক মিলিয়ন বার(দশ লক্ষ্ বার) অথবা এক বিলিয়ন বার বা এক ট্রিলিয়ন বার করি আর যতোবার করবে, ততই ভালো তাহলে ঐ সংখ্যক বারের কতো পারসেন্ট বা শতাংশ হবে যা আমি জানতে চাই? কত পার্‌সেন্ট সময় আমি হেড্‌স পাবো? আর তাই, হেড্‌স পাবার এই ৫০ % সম্ভাবনাকে এভাবে চিন্তা করা যায় যে, ...যে, আমি যদি এই পরীক্ষা বারবার, বহুবার চালাই, যদি আমি এটা বিরামহীনভাবে চালাই অথবা অসংখ্যবার(যা সংখ্যায় পরিমাপযোগ্য নয়), তাহলে এর কতো পারসেন্ট সময় হেড্‌স পরবে, তুমি দেখবে যে তা হলো ৫০ % আর তুমি এটার একটি সিমুল্যাশন্‌ করে দেখতে পারো, তুমি কয়েন টি ফ্লিপ করো, আসলে এটা করা সত্যি একটি মজার বিষয়, আমি তোমাদেরকে এটি করতে উৎসাহিত করছি, তুমি যদি একশ' বা দুইশ' কোয়ার্টার(২৫ সেন্ট) বা পেনি(এক সেন্ট) নাও একটা বড় বাক্সে, আর বাক্সটি ভালো করে ঝাকাও, তো তুমি একরকম সবগুলি কয়েনকে একই সাথে ফ্লিপ করাচ্ছো, আর তারপর, কয়টি হেড্‌স পরেছে তা কাউন্ট কর বা গণনা কর তাহলে দেখবে যে যত বেশি বার তুমি এটা করবে তত বেশি বার তুমি ৫০% এর কাছাকাছি পাবে কোনো না কোনো সম্ভাবনা থাকবেই, এমন কি তুমি যদি কয়েনটাকে এক মিলিয়নবারও ফ্লিপ করাও, তাহলে তার মধ্যে সবগুলি টেইল্‌স পাবার সম্ভাবনা অত্যন্ত ক্ষীণ। কিন্তু যত বেশি বার করবে, ততই তুমি দেখবে যে তা ৫০% এর কাছাকাছি সময়ই হেড্‌স পড়ছে এখন, চলো, এই একই ধারনা প্রয়োগ করি, আর আমরা যখনই প্রবাবিলিটি শুরু করবো অ্যাট্‌ লিস্ট ব্যাসিক্‌ টাইপের, এইটিই হচ্ছে খুব সহজভাবে ধারনা বা উপলব্ধি করার উপায় আর অনেক সময়ই, এটা অনেক হেল্‌পফুল বা সহায়কও বটে, আইডিয়াটা হলো, যদি তুমি এই পরীক্ষাটা বহুবার সম্পাদন করো, তাহলে এই সমীক্ষা বা ট্রায়ালগুলির কতো ভাগ সময় বা কতো শতাংশ সময়ই, তুমি যা জানতে চাইছো তা পাবে এই ক্ষেত্রে, কতো বার হেড্‌স। আসো, এখন আমরা আরেকটি খুবই টিপিক্যাল বা সাধারণ একটি উদাহরণ করি যা কিনা প্রায়শঃ ই প্রবাবিলিটি শেখার শুরুতেই করা হয় আর এটি হচ্ছে একটি ডাই বা ছক(লুডুর ছক্কা) ফেলা, তো, এইটি হচ্ছে আমার ছক, এই যে এখানে। আর তুমি অবশ্যই জানো যে একটি ছকের ভিন্ন ভিন্ন সাইড আছে তো এইটি এক, এটা দুই, আর এটা তিন আর আমি যা করতে চাচ্ছি তা হচ্ছে, আর আমরা অবশ্যই জানি যে আমি ধরে নিচ্ছি যে এটি একটি ফেয়ার কয়েন, আর তাই এটির ছয়টি সাইড আছে যা কিনা একই রকমের মানে সবগুলি বা যেকোনো সাইড পড়ার সম্ভাবনা একই যখণ তুমি এটাকে রোল করাবে বা গড়াবে, তুমি একও পেতে পারো, দুইও, তিনও, চারও, পাঁচও কিংবা ছয়ও। আর তারা সবাই একই। তাহলে, এখন আমি যদি তোমাকে জিজ্ঞ্রাসা করি যে আমি যদি একটি ফেয়ার ডাইস্‌ রোল করাই, মানে আমি যদি একটি ফেয়ার ডাইস্‌ দিয়ে এই পরীক্ষাটি তাহলে এক উঠার বা পড়ার প্রবাবিলিটি কতো? আচ্ছা, একই রকমের ঘটনা ঘটার সম্ভাবনা কতো? আমার কাছে ছয়টি একই ঘটনা বা সম্ভাবনা আছে। আর এর মধ্যে কয়টি আমার কন্ডিশনকে মিট করে বা পূরন করে? Well,শুধুমাত্র একটি। এইযে এইটি। তাহলে, এক পড়ার সম্ভাবনা হচ্ছে ১/৬ বা এক-ষষ্ঠাংশ। তাহলে, একটি এক বা ছয় পড়ার Well, আরও একবার, আমার কাছে আমি যা চাই তা হবার জন্য ছয়টা অভিন্ন ঘটনা আর এখন আমার কাছে দুইটি পসিবল ঘটনা আছে যা আমার কন্ডিশনকে পূরণ করে মানে, আমি একটি একও ফেলতে পারি, বা একটি ছয়ও। তাহলে, দুইটি পসিবিলিটি আছে যা আমার কন্সট্রেইন্টকে, আমার শর্ত কে পূরণ করে, তাহলে, এক বা ছয় পড়ার সম্বভাবনা হচ্ছে ১/৩ বা এক-তৃতীয়াংশ এখন বলো তো, প্রশ্ন করাটা হয়ত একটু বোকামি হতে পারে, কিন্তু আমি করবো, শুধুমাত্র তোমাদের কাছে বিষয়টি আরেকটু পরিষ্কার করার জন্যে, তা হলো, বলো তো, একটি দুই আর একটি তিন পড়ার সম্ভাবনা কতো? আর আমি শুধু মাত্র ডাইসটি একবার রোল করার কথা বলছি। well, ডাইসের যেকোনো রোলেই আমি হয় একটি দুই অথবা একটি তিন পেতে পারি। আমি বলিনি যে, ডাইস্‌টাকে দুইবার রোল করানো যাবে তাই, এ ক্ষেত্রে, ছয়টি পসিবিলিটিস আছে কিন্তু কোনোটিরই একটি দুই এবং একটি তিন পড়ার সম্ভাবনা নেই। একটি মাত্র ট্রায়ালে তুমি দুই আর তিন -- দুইটিই পেতে পারো না। দুই এবং তিন পাওয়া হচ্ছে দুইটি মিউচুয়্যালি এক্সক্লুসিভ ইভেন্ট বা পরস্পর বিচ্ছিন্ন ঘটনা, তারা উভয়ই একই সময়ে ঘটতে পারে না। তাই, এর প্রবাবিলিটি আসলে হচ্ছে শূন্য। এম্ন কোনো উপায় নেই যাতে করে তুমি স্ট্যান্ডার্ড ছক্কাটি ছুড়বে আর হঠাৎ করেই তুমি একটি দুই আর একটি তিন পেয়ে বসতে পারো আমি আসলএটা দ্বারা তোমাদেরকে কনফিউস্‌ড করতে চাচ্ছি না, কারনটা হচ্ছে আসলে এটা একটি আবস্‌ট্রাক্ট আর অসম্ভব ঘটনা। সুতরাং, এটাকে এখানে আপাততঃ বাদ দিই । এখন, একটি ইভেন নাম্বার বা জোড় সংখ্যা পাবার তো, আগের মতই, যখন আমি ছক্কাটিকে রোল করি, আমাদের কাছে ছয়টি একই রকমের পসিবিলিটি আছে, আর এর মধ্যে কোন্‌গুলি আমাদের কন্ডিশনকে মেনে চলে? জোড় সংখ্যা পড়ার শর্ত? Well, দুই একটি জোড়, চার একটি, আর ছয় একটি জোড় সংখ্যা। তাহলে, দেখতে পাচ্ছ যে, তিনটি এমন সংখ্যা আছে যা জোড়। যা আমার কন্সট্রেইন্ট কে মানে। সুতরাং, এটা হচ্ছে ১/২ বা এক-দ্বিতীয়াংশ। আমি যদি একটি ছক্কা ছুড়ে ফেলি, তাহলে সেখানে একটি জোড় সংখ্যা পাবার সম্ভাবনা হচ্ছে দুইয়ে এক বা এক-দ্বিতীয়াংশ।