মৌলিক সংখ্যার তত্ত্ব

## আগামী ও গ্রামীণফোন এর সহযোগিতায় অনূদিত ## মনে করি আমরা সকল পূর্ণসংখ্যার সর্পিলাকার তালিকা করেছি, যেখানে, মৌলিক সংখ্যাগুলো নীল এবং যৌগিক সংখ্যাগুলোকে কালো রঙ এ রেখেছি । একটি মজার প্রশ্ন জিজ্ঞেস করা যায়, যৌগিক সংখ্যার সাপেক্ষে মৌলিক সংখ্যা কত? প্রথমে, আমরা বড় ছবিটি দেখতে ছবিটি ছোট করি। লক্ষ্য কর, মৌলিক সংখ্যার রঙ কেন্দ্রে ঘন, এবং দূরত্ব বৃদ্ধির সাথে কমছে কিন্তু মনে হয় কখনো শেষ হবে না। নিম্নরূপে এটা নিয়ে চিন্তা করা যায়ঃ মনে কর কেন্দ্রে একটি গাছ আছে যা অসীম লম্বা। এই গাছ থেকে যে পাতা গুলো পড়ে সেগুলো মৌলিক সংখ্যার প্রতিনিধিত্ব করে, যা গাছের শেকড়ের কাছে অপ্রত্যাশিতভাবে ঘন হয়ে বিক্ষিপ্ত হয়ে আছে, এবং আমরা যখন এই গাছ থেকে যত দূরে সরে যাচ্ছি তখন আমরা অনেক কম পাতা খূঁজে পাচ্ছি, যদিও আমরা সবসময় তাদের খুঁজে পাব। যখন আমরা বড় এবং আরো বড় পূর্ণসংখ্যা নিয়ে কাজ করি তখন ঠিক এটাই ঘটে আমরা সবসময় আরো মৌলিক সংখ্যা খুঁজে পাই, আরো লক্ষ্য করলে দেখব যে মৌলিক সংখ্যার পরিমান ধীরে ধীরে কমে আসছে। তাহলে আমরা প্রশ্নে ফিরে যাই। পূর্ণসংখ্যা x থেকে কতগুলো মৌলিক সংখ্যা কম আছে? একটি টেবিল তৈরি করলে আমরা দেখব যে মৌলিক সংখ্যা সবসময় বৃদ্ধি পাচ্ছে আরো অনুসন্ধানে আমরা আরো কম খুঁজে পাব। আমরা একটি লেখচিত্র তৈরি করি যেখানে উল্লম্ব অক্ষে মৌলিক সংখ্যা, এবং আনুভূমিক x অক্ষে অনুসন্ধানের সীমা আছে। আমরা যখন কোটি কোটি সংখ্যা ছোট করে সংযুক্ত , লক্ষ্য কর বক্ররেখা কখনও সরলরেখা হবে না। এটা সবসময় বাড়ছে যদিও তা ধীরে ধীরে। প্রথমে, আমরা পূর্ণসংখ্যা x এর থেকে কম মৌলিক সংখ্যার নিয়ে চিন্তা করি। অনুসন্ধানের সীমা দ্বারা প্রাপ্ত মোট মৌলিক সংখ্যাকে ভাগ করে আধিক্য বের করতে পারি। প্রথম ১০০ পূর্ণসংখ্যাতে ,২৫টি মৌলিক সংখ্যা পাওয়া যায়, তাহলে ২৫% মৌলিক সংখ্যা। প্রথম ১০০০০ পূর্ণসংখ্যাতে, ১২২৯ মৌলিক সংখ্যা খুঁজে পাওয়া যায় তাহলে মৌলিক সংখ্যা হল ১২.২৯%। প্রথম ১০ লাখ পূর্ণসংখ্যাতে, ৭.৮৪% মৌলিক সংখ্যা আছে। এবং প্রথম ১০ কোটি পূর্ণসংখ্যাতে ৫.৭৬% মৌলিক সংখ্যা থাকে। এভাবে, যত সামনে যাবে মৌলিক সংখ্যার আধিক্য কমতে থাকবে। যদিও এর হ্রাস পাওয়ার গতি কমতে থাকে।এখানে একটি লেখচিত্রে অনুভূমিক অক্ষে অনুসন্ধানের সীমা এবং উল্লম্ব অক্ষে মৌলিক সংখ্যা আছে। লক্ষ্য কর, যখন ছবিটি ছোট করি সকল পূর্ণসংখ্যার অনুপাতে মৌলিক সংখ্যা হ্রাস পাচ্ছে। বিস্ময়করভাবে, আমরা এই সূত্র প্রকৃতিতে খুঁজে পাই। আমরা এটা গ্যালাক্সি, ঝড়, ফুল এবং এমনকি আমাদের শরীরের মধ্যেও দেখতে পাই নূন্যতম প্রতিরোধের নকশা হিসেবে, যা লগারিদমিক স্পাইরাল নামে পরিচিত। লক্ষ্য কর যে সর্পিলাকার ঘূর্ণনে, এটা কেন্দ্র হতে আরো অনেক দূরে সরে যাচ্ছে। অবিশ্বাস্যভাবে, লগারিদমিক স্পাইরালে ঘূর্ণনের হার মৌলিক সংখ্যার আধিক্যের হারের সাথে নিম্নরূপে সম্পর্কযুক্তঃ আমাদের ঘুর্ণনের সংখ্যা ফাই (φ) আছে এবং কেন্দ্র থেকে দূরত্ব, হল r যদি আমরা ফাই (φ) বনাম r গ্রাফে স্থাপন করি, এবং ছোট করি, আমরা দেখব যে তারা স্বাভাবিক লগারিদম অনুসারে সম্পর্কযুক্ত। এর মানে দূরত্বের স্বাভাবিক লগারিদম ঘূর্ণন সংখ্যার সাথে সম্পর্কযুক্ত। স্বাভাবিক লগারিদমের গ্রাফ মূলত y এবং x এর ভেরিয়েবল ব্যবহার করে লেখা হয় যেখানে y সমান হল x এর স্বাভাবিক লগারিদম । লক্ষ্য কর মৌলিক সংখ্যা ধীরে ধীরে কমছে এবং একইভাবে লেখচিত্রও সংকুচিত হচ্ছে। সর্বশেষ ধাপে এটা y অক্ষ সমান হল x কে ১ দিয়ে ভাগ করে এর স্বাভাবিক লগারিদম পরিবর্তন করা।এবং আমরা যখন ছোট করি, তখন আমরা ঠিক একই বক্ররেখা পাই, যা মৌলিক সংখ্যা আঁকার করার সময় উৎপন্ন হয় দুটো নকশাকে সমাপতিত করেই তা দেখা যাবে । সবুজ রঙে, y রেখার লেখচিত্রে x এর স্বাভাবিক লগারিদম ১ এর সমান। এবং লাল রঙে মৌলিক সংখ্যার আধিক্য x পর্যন্ত। ছোট করলে তারা একে অপরের সাথে মিলে যায়। যদি আরো ছোট করি, সবুজ রঙের হিসাব আরো বেশি নিঁখুত হয় এটা মৌলিক সংখ্যার বন্টনের এসিম্পটটিক ল' বা সূত্র নামে পরিচিত। এখন আমাদের কাছে গণনা ছাড়া নির্ভুলভাবে মৌলিক সংখ্যার আধিক্য জানার সূত্র আছে। পূর্ণসংখ্যা x পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার আধিক্য হল প্রায় ১ ভাগ x এর স্বাভাবিক লগারিদম অথবা লন x ,তাহলে মনে কর, তোমার ১ থেকে ১০০ ট্রিলিয়নের মধ্যে মৌলিক সংখ্যার আধিক্য জানা প্রয়োজন। ১ ভাগ ১০০ ট্রিলিয়নের লন সমান হল ৩.১% মৌলিক সংখ্যার গণনা থেকে প্রাপ্ত প্রকৃত ফলাফলের সাথে তুলনা করলে ৩.২% হয়। এখানে ০.১% বিচ্যুতি হয়। এবং যদি আমরা বড় বড় সংখ্যা পরীক্ষা করি, পার্থক্য শূন্যের দিকে যাবে । সুতরাং বোঝা যাচ্ছে, যে x পর্যন্ত মৌলিক সংখ্যার আধিক্য নির্ণয়ে এই সূত্র ব্যবহার করা যাবে। মৌলিক সংখ্যার পরিমাণ হল আধিক্য বক্ররেখার ক্ষেত্র যার জন্য এই আধিক্যকে ধ্রুবক মনে করে সরল করতে পারি। তাহলে মৌলিক সংখ্যার পরিমাণের সমান আকার গুণ আধিক্য বা x ভাগ ln x এটাই হল মৌলিক সংখ্যার উপপাদ্য। এখানে নীল রঙে y সমান x ভাগ ln x এর একটি গ্রাফ। এবং হলুদ রঙে, মৌলিক সংখ্যার প্রকৃত পরিমাণের অংশ। যখন ছোট করছি এই রেখাগুলো এমনভাবে মিলে যায় যা দেখতে অসীম লাগে। আর এটাই। একটি সূত্র আছে যা যে কোন মানের ক্ষেত্রে কতগুলো মৌলিক সংখ্যা আছে তা বলে। এখানে গণনা নিষ্প্রয়োজন। মনে করি আমাদের ১০০ ট্রিলিয়নের চেয়ে কম মৌলিক সংখ্যা জানতে হবে। ১০০ ট্রিলিয়ন ভাগ ১০০ ট্রিলিয়ন এর স্বাভাবিক লগ সমান হল ৩.১। এর সাথে প্রকৃত পরিমাণ তুলনা কর, যা ৩.২ ট্রিলিয়ন। অপেক্ষাকৃত ছোট স্কেলেও এটি প্রায় ৯৯.৯৯% সঠিক। পুনরায়ঃ দেয়া আছে, পুর্ণসংখ্যার অনুসন্ধান আকার x , মৌলিক ঘনত্ব হল প্রায় ১ ভাগ ln x এবং মৌলিক সংখ্যা হল x ভাগ ln x। আর এটাই হল মৌলিক সংখ্যার উপপাদ্য। ## আগামী ও গ্রামীণফোন এর সহযোগিতায় অনূদিত ##